IV. Soit, pour aldi'ger

li, par consn|Uonl :

''^'^'^Uîr nA..ll-6r-n, (13)

Il «J»

de

On sait que

Ccue relation devient, d'après les valeurs précédentes,

(,,^ X" ,,(,, 1) A,.(l - liT-' -. (2 - 5c^) 2" «A„( I - '')"-•

-h^ \j.\-br=o.

Soit encore 1 — & = f; et, par conséquent :

C) A cause de

(Ib c

de" l>'

(•*) La dérivée de ^ est

(•**) Legf.m)ue, Traité des fonctions cUiptiquvs, t. 1, j). 65.

( 46 ) puis, au lieu de la dernière égalilé,

(2-5^-4- n s"" n{n - 1 ) \J"~' -+- (2 - 6« -t- 5<*) ^ »«AX '

(I - 0 2 Kl" = 0.

V. Dans le premier membre, qui doit être nul quelle que soit la valeur attribuée au nombre entier n, le coefficient de t^ est 2A, — Ao; le coefficient de / est

4A2 -+- 4A2 — (iA, — A, -+- Au.

Donc

A,=-Ao, A, — Ao.

Dés que n surpasse 2, le coeflicient A„ est donné par la loi de récurrence :

2nlA„ — (3^*^— 3n -+- 1)A„, + (n - 1)^A„, = 0. (16) La comparaison des formules (6), (12) donne

'" 2' 16" Donc

n^P„ — 8(5m-' — 5n -+- l)P„, + I28(n — if P„, = 0. (17)

Par la formule (o), on trouve

après quoi l'équation (17) donne, successivement ;

On a donc le théorème suivant, qu'il serait, croyons-nous, très difficile de démontrer directement :

Soient une suite de nombres Pq, P^ , P.,, ..., dont les deux

premiers sont 1 <7 8, et ilunt (es (uitres, a /xirtir de ii ^= !2, sont dctcnninés par la formule :

K = -,((3«' - Zn -f- r)lV, - l«(n - l)»P„,-|.

Toiis ces nombres sont entiers (*).

\'I, La comparaison des formules