I. Des formules connues

on conclut les deux systèmes :

n =R»-., R| =R,r,,.., Rf. = R„,r„:

puis

R.Rî ... R„, . R; = Rj'ir. ... r„o\:, ou

r„=i(r-f-R) + i[(R,-r,) + (R,-r,)+... + (R„,-,vO], (1)

Si n croît indéfiniment, les rayons r,„ 1{„ tendent vers k rayon d'une circonférence égale à 4 (***). Donc la série (1) et le pro-

(*) Abstraction faite, bien entendu, des facteurs 2 et q.

(**) Cette Note peut être considérée comme un complément de la précédente.

{**') Pourvu que Ton suppose r = 0, R = 1. [Elèmenls de Géométrie, p. 184).

duit (2) onl une limite coiuiniinc, doiii l:i vniciir csl ^. En d'aiiires termes :

Addition. — (Mai I88G.)

11. Si Ion suppose lonjoiirs /• = 0, U= 1; >■„ , cl U„, sont l'apotlième et le rayon diin polygone régulier de 2" cotés, dont le périmètre égale 4. Soit f„ , le côté de ce polygone; soit a„ , le demi-anrjle au centre, il esl visible que :

1 rr 2 '"-'

'"-'~2^^' "'-'-r ■-' tga„. . . /.

'O"*"-' an-l

2"-' tg —

sm a,, ,

2"-'sin -

Par conséquent,

R„-i — r„ ,=r— :tg

an- 1 O y^^n-j-l

puis, au lieu de l'égalité (5) :

4 7T I 77 I 7r 1 TT

- = tg - -4- - tg - -+- - tg h - tg V- ■•• {**). (5)

(') On conclut, de cette égalité (4) :

2 Ri R„

lOg T = log H log 1 1- lOg 1

(**) Cette formule, peu connue, est un cas particulier de celle-ci :

- = cet a; -t- - tg - H- - tg — h - tg — I ,

conséquence de celle d'Euler :

sin a; x x x

= cos - cos - cos — •■•