CVII. — Sur les nombres de Seguer

{Juillet 1870.)

I. Divers Géomèlres se sont occupés de ce problème : De combien de manières un poh/fjone convexe, de n côtés, peut-il cire décomposé en triangles, au moyen de diarjonales'^. (*) Soit T„ ce nombre de manières. On sait que

T, = 2, T3 = S, To = U, T, = 42,..

Les nombres T„, considérés par Serjner (**), satisfont aux relations suivantes :

T„+, = T,T„ + T,T„, -H ... + T„,T, + TJ, (***), (1)

D'après celle-ci, T„ est divisible par n, au moins quand n est premier avec 6.

De plus, comme l'a trouvé Binet ("), la fonction génératrice de T„ est iulllziiî. En effet, dans le développement de celte quantité, le coefficient de x" est

Il résulte, de cette formule,

La fraction ne diffère, de la précédente, que par le changement de n en n -h 2. Et comme T5 = C, = 1 , on a T,,^., = C„, .

(*) Journal de Liouville, t. III et IV. (•*) Ibid., t. III, p. 505.

(* **) On suppose T. = I .

("■) Journal de Liouville, t. IV, p. 85.

( «5 ) En onliT,

conformt'nH'iit ;i la rcmiiiqiie de liiiiet.

n. Oïl peut vérifier, directement, que (]„ csO/n noinhrc entier. Eii premier lieu, d'après la formule (3) :