U II

Si l'on l'ait x = cos<55, on a

^y V/i— X* ^ 1/2 — sin'ç 1/2 V^a

La relation (24) devient

1 4 ^''7.11.15 ... 4/i — 5 lui — 4 ,^ .^

D'ailleurs,

Donc, finalement,

Addition. — {Avril 187 G.) IX. D'après la formule de Lagrange, appliquée à Téqualion

Si Ton suppose a = 2, el que Ton change x en — 4x, on a, par réquation (27) :

1 Al — l/l 4a;\'

y=l+V/l-4a;n, -=1-l/-I-4a;, tj~'-.

puis, par la formule (o)

[^xf

[x H- T^x- -4- T^X" -4- TsX* H- ■••]'■

Le second membre de régalité (28) est, en vertu des hypothèses précédentes,

[T2XH-T3X^-4-T,x^H-T«.r^ + -r=.r'+jJ-'-^'+ ^^x*-*-^ -+-••. (29)

X. Remarqvcs. — l" Lorsque Â==2, le second membre se réduit à

X- -+- 2x'^ -t- 5x' -+- I4x" -+-••• = T:,x- -4- TV -+- T^x* -4- ••• ; et Ton retrouve la relation (I).

(*) Bertrand, Calcul différentiel, p. 520. (") On prend la racine qui donne

pour X = 0.

( «5 ) 'i" Eu iréru'ialjc coi'lliciciildr x**", dans lesrcoïKi iiRiiihir, csl

k{k -+-/»-♦- 1 )(/;-+-;<-»- -2) ... (k -+- Un — i )

un

Dans cette «'xprossion, n est supposé positif. Si /t = 0, a:'"*'* devient j*, terme dont le eoellicienl est 1.

XI. Hvlation uouveUe entre les nombres T. — Pour l'obtenir, prenons réiialilé

Le premier membre est le produit de k facteurs, dont les termes généraux peuvent être représentés, respectivement, par

a^cZ'^-, a^zP, ... u)z\ Par consé(|uent, si

a -4- fi -+- y H- • • • -f- A = fc H- « , (50)

on a

Va\ particulier :

Telle est la relation cherchée.

XII. Remarque. — Le nombre des termes, dans le premier membre, est celui des solutions, entières et positives, de l'équation (50), laquelle renferme k inconnues. On sait que ce nombie égale C,+„,,„ (*).

XIII. Ap])lication. — Soient ^ = 5, >i = 4. Si l'on développe, directement,

(a- -H x'- -+- 2x^ -^ ox* -4- 1 4x')'\

(•) Noir I.

^ ( (Î4 ) on troiivo, comme coefficient de x' :

Le nombre des termes de cette somme est \^ = Cq ^. D'nn autre côté,

2 Ta+iT^+iT>4., = T-iTîTs -+- T2T3T5 -H T2T4T4 -+- T2T5T3 -t- TjTgTi

-+- T3T2T, -+- T5T3T4 -4- T3T J3 -*- T3T J, -4- ï JJ, + T JsTr,

+ T JJ^ -4- T J2T3 -4- T,T3T, -*- TfiT^Ta

-4- 14 = 90 = C,„,4 — Cjo,3. ■

Autre addition. — (Juillet 1885.)