p — 1 mais non jri(p
En ellet, dans la suite
un seul terme est divisible par /> : c'est le nombre p.
7" La plus petite valeur de n -+- k estjo; ainsi
8" On a donc ce tbéorème :
Soit p un nombre premier, supérieur à 3. Dans la suite
(*) Remarque déjà faite (I).
T;, T|, , ... T„, ... T„^^, il V a (oujours -~' termrs conspciitifs divisiblis, une seule fois, jxir p. L'indice du premier de ces termes est ^(\) -+■ o); l'indice du dernier est p.
Autrernenl dit :
Tp, et /cA— ^ ■ tornios qui précèdent T,,, sont divisibles par p (*).
U" Ias .\i>mhres de Serjner, jtrolonijes suffisamment, contiennent, comme facteurs, tons les nombres premiers (**).
10" Après T,, , II' premier terme iJivisil)le par jt est déterminé
par récjuiitioii
"in — 5 = 3/);
d'où
Il" Le f/)()iipe des multij)les de \t, commençant par Ti^j^^,^^^, est composé, connue le premier groupe, de ^^-^ termes. Il se termine à Tjp.
Soil, par exemple, /> = 1 1. Le premier groupe est
* 8 > ' 'J 1 MO î ' 1 1 •
Le deuxième :
Le troisièuie groupe serait
etc.
(*) Vérification :
T5 =ÎJ. Te = 2.7, T, = 2.3.7, T,=2^3.11, T9 = 3.11.13, T„ = 2.3.H.l.-), T„ = 2.11.13.17, T,j = 22.13.17.19, 1,3 = 2.7.15.17.19, T„ = 2^7.17.19.23, T,5 = 2^oM7. 19.23, T.g = 2^5^5.17.19.25, 1,7 = 3^3.17.19.23.29, T,g = 2.3*.o.l9.23.29.31, T„=2.3.5.1 1.19.25.29.31, Tj„=2^3.5^7.1 1.23.29.51, Tj, = 2.5.3.7.11 .25.29.51 .37, T,j = 2« .5 . o . 1 1 . 15.25 . 29 .51 .57, T,, = 2* 5-.5V 15.25.29.31 .37,...
(") On ne doit pas oublier que Tg = CfïL 2, et que T, = tT|'(. 5.
C^III. — Problème de Céoniétrie analytique.
{Décembre 1871.)
Tracer, sur une sphère donnée, une courbe dont les tangentes fassent, avec une droite donnée, un angle de 45°.
I. Si l'on prend pour nnilé le rayon de la spiière, l'équation (In problème est
dx' -^dij^ = dz\ (1)
Soient :
X = cos cp oos w, u = cos cp sin a, 2 = sin cp ; et, par conséquent :
dx = — cos 9 sin ccdu> — cos co sin cprfcp, ilrj = cos cp cos udcc — sin w sin cpr/cp, dz = cos çrfcp.
L'équaiion devient
1/ cos'^œ— sin'cp
cos cp
L'intégrale tle celle-ci est, comme on le trouve sans peine,
u — a = 1/2 arc sin (l/2 sin cp) — arc sin (tg ç). (5)
II. Remarque. — Le second membre devient imaginaire si l'on suppose 9 supérieur à 4-5". Des considérations géométriques aboutissent à la même conclusion.
( fiO )
€'I^. — I iK' r«'la(i(»ii «><»iiiliiiiti(4»ire.
{Jllillrl ISSI.)
Par la foiiiHiIc i\v Claiiscn (*j, ou par les propriélés des Mombres de Sefiner (**), on a
arc sin x
!2 . 4 . fi ... 2>j
r-tll-t-l
ô .'6 .1 ...'■In -^ I
Or
arc sin x = <irc lu
OU
arc sin x
(1 — xY 5 (1 - x')'
Le terme ffénéial du second mend)re a la forme
2^ -t- 1 (i — xY^' Développé suivant les puissances ascendantes de x, il devient
2A-t- Il 1 1.2 1.2.5 J
Dans la parenthèse, le coefficient de x*" " est
Par suite,
arc siri x
Il 1 1
(*) Traité élémentaire des sérici, p. 103. (**) Voir ci-dessus, p. 56.
La comparaison avec la formule (I) donne celle so)mnalion 111 1 1
0 0 7 'in — 1 2/j -+- I
5 . 5 . 7 ... 2?i -+- 1 qu'il esl facile de prouver directement.
Addition. — (^o/^/ 1885.) II. Soit, en général,
n étant un nombre entier.
Il est clair que
nk -+- 1
Si Ton pose
on trouve
c'est-à-dire
^ 1 ''*'*' ^ \ÂJ \ T{n -+- r
ou
La comparaison avec la valeur (5) donne
k+\ '* 2ct-l ■' nk-^[ {k-^\\ik-^-\)...{Hk-^\) '
i"\. — Kur lo!^ OYalf*» «le ll<'s<*MrlrK.
(Juin 1870.)
I. Oïl doit, il M. (lliasles, ce beau ihéorèriic ; au lieu de deux foyers seulement . elles en ont toujours trois. (APERçr iiistohiqle.) Voici comment on peut le démontrer.
F, G étant les deux loyers con- ^'î\ 'tus, dont lit distance est A, soit M
^^'^ / \Y i'" point de la eourhe. Par rfé//-
mtnm :
S'il existe, sur KG, uii troisième loyer II, l'équation de l'ovale, rapportée aux loyers G, II, sera
a', b' étant des lonijucurs inconnues.
Soient /, g les segments GII, Fil de la droite F(i. Par un théorème d'Euler :
/"' -+- yv"" = li{iv- -4- fg). (5)
L'élimination de u et de ic, entre les équations (1), (2), (3), conduit à celle-ci :
fc' (l -jj -^ yv'^hh- (t - ^,)' ^ hfg, (V)
laquelle doit être identique, si les inconnues f, g, a', b', ont des valeurs convenables. Autrement dit, l'égalité (4) se décompose en
fa'=li[ir^-^ly), (5)
On tire, de réqualion (5),
puis, de réqualion (G),
a' = -, {a'- - gh). (9)
Ces valeurs, substituées dans la relation (7), donnent celle-ci :
On en conclut
de sorte que les formules (9), (8) deviennent :
h' = ±lra (11)
Eni'in, comme f -^ f/ = h, on a encore
h^a' — fr) aW — />')
' fi{a'-b') ^ h{câ — b') ^ '
Les valeurs de /", g, a', b' étant réelles et finies (**), le théorème de M. Chasles est démontré.
II. Remarque. — Les calculs que nous venons de développer démontrent, en outre, la propriété suivante :
(*) Pour fixer les idées, supposons a cl 6 positifs. Alors, d'après réqualion (1), chacune des branches de l'ovale est une courbe fermée. Donc, dans réqualion (2), a et b' doivent élre positifs. Alors, si a surpasse b, le scgmenl f esl positif. Dès lors, dans la formule (1 1), on doit adopter le signe supérieur.
iNous omettons la discussion complète, un peu longue.
('*) Excepté si a = ±b; mais alors la courbe donnée esl une ellipse ou une hyperbole.
f!tant floniH's trois un}nhn's u, h, h, on (lécoinjtose le (roisiinno en deux parties f, g, satisfaisant à la condition
On fait, ensuite :
a = — » 0 = rb — • b h
Cela pose, tontes les solntions des c(inalions
rendent identif/iic rnjnation
fu- -^ yv- = hiiv'- + fg).
