I. Soit réqualion homogène

xdy'^ -4- 2(x -H ij)dxdy -+- ydx- {*). (I)

y = tx donne

dx dt

^ —^2t — \ dz Vl- -+- < H- 1

(*) On la rencontre en chcrclianl les surfaces orthogonales entre elles et orthogonales aux surfaces rcj)réscntces par

XijZ = c^

La proposée, dans laquelle x ci y seraient remplacés par a et 5, exprime la condition d'orthogonalité des surfaces inconnues. Voyez le Mémoire intitulé : Recherche des lignes de conrl)iire de la surface..., p. 8.

Le problème a été résolu, d'une autre manière, par M. Serret (Journal de Liouville, I8i0).

Pour rendre la différentielle rationnelle, je pose

4m Il résulte, de cette expression, la transformée :

„ dx {ii^ -4- 5)

La fraction égale

u u — \ î/ -+- 1 L'intégrale de l'équation (5) est donc

(lu. (S)

ou, si l'on remplace u par sa valeur

6^(2R — 2?y x)' = x'^ (R — */ — x)* (R - yf. (7)

Dans cette équation, h^ remplace ^, et

R = \/ x} -*- xy -+- y*.

Il s'agit de la rendre rationnelle.

A cet effet, je multiplie les deux membres par

(2R -H 2(/ -4- xf.

A cause de

4R* — (2?y -+- x)^ = 5x*, j'obtiens

6^x* = (R — y — jf (R — yf (2R -h 2?/ -t- x)^ (8 )

Le produit des deux carrés est, moyennant quelques réductions, 2x* -+- 9x^/ -+- 1 1xhf -+- I firy"' h- 8(/*— 2R(x'' -f- ix^y -4- ()X?/' + 4^').

{ 75 ) D'autre pari,

(2R -4- 2y-+-x)'=l 3x V 42x*f/ -+- 'tHxij' -f- y2ff -f- 211(7 j* -h I Gx»/ -4- 1 Oiy). l/iritégrale (7) devient done

6^x*=. (2x* -♦- dx\if -\- 1 7x*y*-+- i ijxtf -+- 8^*) ( 1 3x'-t-42x*jy -+- 4Kx y" h- .'2 /y' j \

— 4(x* H- xy -+- i/) (x' -4- 4x^/ -+- (jxy* ■+- 4»/ •^) (7x* -+- 1 Oxy -i- 1 (>^' ' / , ^ -h2H(1>x'-»- 9x'y-+- 17xy -+- IGxy' -♦- Hy'){lx* -^ Kuw/ -4- I «»/-)(

— 2R(i3x' -+- 42x-y -+- 48x1/' -f- 32.iy')(x=' -+- 4x*t/ -+- Cxi/- -+- 4^'). )

L'ensemble des deux premières parties du second membre étant représenté par P — 4P', on a :

P = 26x' -t- 20lx'/y -»- (JOSx-y -+- I 4l8x'y'' -.- 1 88(»x^y' -f- I 648x^y"

-4- 890x1/* -+- 2562/', P' = 7x'-t-51x«y-4- 175xy-4-354xVy'-+- 470x'»/*-4- 4i2xy+224x»/'"'

<it/,

P — 4P'=— x'(2x^-^3x'î/— DXJ/*-2y) = -x*(x— y)(2x'-4-5x,?/-+-2^';.

De même, les deux dernières lignes se réduisent à

2R(14x«-4- Q^x'y-h 29bxy + 528x'y''-4- 584xy-i- 384x^'-+- 128^') — 2R(1 5x'"'-H 94x'7/-t- 294x*^'-4- 528x'^' -4- y84x*/y*-v- 384x»/'*-+- 1 28^'"}

= 2Rx*(x' -4- xy -4- y%

Par suite, l'égalité (9) est transformée en

//' = (x — t/)(2x' -+- bxy -4- 2/y') -4- 2R(x' -4- xy -4- «/'),

b^ -4- 26'(2x^-4-3x*t/ — 3x?/- — 2j/')-4-(2x^+5x*î/ — 3x^^ — 2î/^) = 4(x* -4- xy -4- ?/y.

On a :

4(x^ -+- xy -4- */-y^ = 4x* -t- 12 j'y -+- 24x*y'' -h 28x'(/' -+■ 24x'''y* -4- I2xy^ -4- 4y«,

(2x^ -4- 3x*y — 3xjy^ — 2j/Y = 4,r^ -4- l 'ix'y — 3x*y* — 2f)x'?y^ — 3x*»/* -+- I Sx/y" -f- 4?/

donc

4(a-'- H-xy-^- yy — (2x' -+- Zx-y — ôxy- — 2?/'f = '27xY{x -t- y)' ; ( 1 0)

et, linalenienl,

b' -+- %\x — î/)(2x' + nxy -+- '2y^) = '21xhf{x -+- y)\ (A)

Telle est rinlégrale de l'équation (1).

II. Autre méthode (*). — Si l'on pose, suivant l'usage, ^ = Py l'équation

xdy"^ -t- 2(x + y)dxdy -+- lyrfa;^ = 0 (i)

prend la forme

Celle-ci est un cas particulier de Véqiiation de Clairaut (**). Il en résulte

dp = 0. (13)

La fraction

se décompose en

p p -+- 1 2p -s- I Donc l'intégrale de l'équation (13) est

el l'intégrale de l'équation (1) est le système des formules (12), (14).

(*) On viciil (le voir que le procédé classique cnlraînc à des longueurs de calcul.

(*") il y a quelques années, M. Mansion, mon savant Confrère, a démontré ce beau théorème : Toute équation du premier ordre est réducliblc à l'équation de Clairaut. (Octobre 1885.)

( 77 ) On lire, de rr(|ii;ili(in (12), on de hi propctsce :

R — X — y R — y 2R — X — "lu p = . />-+-! = 1- . 'in -+. j = -l ,