III. Soit

Q^a'^'^c'-^cre"', (4)

les exposants étant impairs.

Dans la suite

0, 1,iJ,... 5',

il y a ^ ^ nombres pairs, ., nombres impairs. La relation (3) est remplacée par celle-ci :

jN' désignant le nombre des diviseurs de Q.

IV. D'après ce qui précède : 1" /e nombre des diviseurs de P, (lijant la forme 4-a -i- 1, es^ ^ (N h- I); 2° /e nombre des diviseurs de Q, ayant cette même forme, est ^ N' (*).

Donc :

5" Le nombre des diviseurs de PQ, ayant la forme 4w — \, est

l[(N l)N'-^(N-t- 1)N']=1nN';

4° Le nombre des autres diviseurs de n est ^ NN'.

V. Si nous appelons N" le nombre des diviseurs de R, lesquels

(*) Si, comme dans les Recherches sur quelques produits indéfinis, nous appelons f„ Vexcès du nombre des diviseurs de h, ayant cette forme, sur le nombre des diviseurs de n, ayant la forme i^ — 1, il s'ensuit que

(Octobre 1885.)

oui toii^ la forme iu -h 1, la rcponso à la (piostion proposée est, en eonséqueuee,

x=- NN'N". (G)

Ainsi, ordinnirenn'Hf, un nombre impair a autant de diviseurs at/ant la forme 4a — 1 , ffue de diviseurs ai/ant la forme 4u-4- 1 (*).

\'I. Remarque. — Il n a exception si tous les facteurs premiers de n, at/ant la preynière forme, sont affectés d'exposants pairs. Kn effet, quand il en est ainsi,

et le nombre des diviseurs de n, ayant la forme Aix -+- \, est

y = itN-^l)N"n. (8)

Addition. — (Octobre 1885.)

VII. La démonstration contenue dans le paragraphe H est trop longue : nous l'aurions supprimée, si elle ne se basait sur ridenlité

à laquelle nous reviendrons bientôt (***).

(*) Par suite,

(") Conséquemment,

(*'*) Cette identité, que je croyais nouvelle, est due à Euler. Mon illustre ami Genocchi l'a ratlacliée à une formule de Nicole. (Nouvelles .^ anales de Mathématiques, années 1867 et 1869.) — Voyez aussi, dans le .tournai de M. Hoppc (t. LXI, 1876), les Eclaircissements sur une Note relative à la fonction j"*- ^{x); par M. Genoccfii.

Si l'on fait abstraction des facteurs premiers ayant la forme 4p. -1- 1, il y a deux cas à distinguer.

\° n a la forme 4fx — 1. Alors, à chaque diviseur ayant cette forme, il en correspond un ayant la forme contraire. Donc e„ = 0.

2° n a la forme 4p- -+- 1 . Comme

H = a%^cyS ... ,

la somme des exposants est paire. Dans le produit qui sert à former les diviseurs de n,

(1 ■+-a-^a^-\ v-a^){\ -^ b -t- h^ -4- ••• -+- bl^){l -+- o -+- c^-4- — h c^)...,

substituons, à chaque terme, son résidu par A. Nous aurons

Le produit a autant de termes égaux à h- 1 que n admet de diviseurs ayant la forme i^-i-\, et autant de termes égaux à —1 que n admet de diviseurs ayant la forme contraire. Donc e„=1 (*).