II. Soient, d'après cela

1,,.= 4^(1 + on, (5)

S!, = V, -^- Vo -^- ••• -+- i'„ : (G)

les sommes S,„ S'„ sont, simultanément, convergentes ou divergentes.

(*) Voir l'identité (9), p. 87. Pour vérifier cette relation (4), évidente lorsque 7i= 1, il suffit d'ajouter w„+i à chacun des deux membres.

(**) Pour plus de simplicité, nous prenons des logarithmes népériens; mais les propositions sont indépendantes de ce choix.

( 90 ) Ainsi, les conditions de convergence de la série proposée : «, -t- M2 Ht- ••• -+- îi„ ■+• ••• se réduisent h celles de la série auxiliaire :

Si les quantités «1, «3, ..., a„, ... sont positives, il en sera de même pour r,, Vç^, ..., v„. Les deux premières conditions nécessaires sont

donc

lim ^ (i -4- «„) = 0, lim [« ^ (1 -f- a„)] = 0 (*).

La première équivaut à lim «„ = 0 (**). Pour satisfaire à la seconde, il suffît de prendre

"" ni+i

A étant une constante positive.

En effet,

Ces deux conditions sont d'ailleurs suffisantes; car la série dont le terme général

est convergente (***)•

En résumé : la série, déterminée par les formules (1), (7), est convergente.

IIL Supposons, en second lieu, que les quantités a^, a^, ..., a„, soient négatives, mais comprises entre 0 et — 1. Posons

(■) Traité élémentaire des séries, pp. 5 et 17. (**) Condition évidente a priori.

(**') Propriété connue, dont la démonstration résulte de la dernière remarque.

( Dl ) el, alîn tl'avoir encore des séries à termes positifs, prenons

p..=(i -?.)(• -r^.)...(i-^.)(i -ro, (10)

Si l'on fait

la série auxiliiiire :

sera convergente. En effet,

el celte dernière quantité esl comprise entre

et