CXVI. — Problème sur l'ellipse
(iVars 1854.)
Parmi toutes les ellipses circonscrites à un quadrilatère, quelli est celle qui diffère, le moins possible, d\in cercle; c'esl-à-dire :
Quelle est l'ellipse, passant par quatre points donnés, dan laquelle le rapport des axes soit maximum ou minimum ?
I. L'équation de toutes les coniques passant en A, B, C, D est
2Aaci/ -4- ah[xj — c)[y — d) -+- cd{x — a){x — b) — abcd = 0 (**), (1 )
). étant un paramètre arbitraire.
Si nous transportons l'origine au centre I, cette équation
devient
2Xxy ■+- aby^ -v- cdx^ = F. (2)
Les équations du centre sont, comme on sait :
2a(3 + crf(2a — a — 6) = 0 , 2 Xa -f- ab{'2p — c — d) = 0. (5)
La distance u, d'un point de la courbe, au centre I, est donnée
par la formule
î/2 = x^ -t- ?/^ -V- ^xy cos 0. (4)
Pour exprimer que le rayon u est maximum ou minimum, on doit joindre, aux équations (2), (4), l'égalité
x -^ y cos d y -t- X cos 9
Xy -+- cax Ax -+- uhy
(') Proposé dans les AnnaJes de Gcrgonne (t. XVIF, p. 284)j résolu par Stoincr (Journal de Crclle, t. Il, p. J23).
(**) Manuel des Candidats à l'École polytechnique, t. I, p. 477.
ou
Celle-ci représenle deux droites, iiuiu'l's par l'origine, j)arallèlemenl aux axes pritieipaux de la eonique. Chaeuti des rapports (îi) égale
X* ■+■ 2jy cos ù -H »/■ ir
"2:^X1/ -*- c(/x" -t- uby h
Done
(F — u*cd)x = {nh — F cos o)y, (F — u^ab)y = {uh — F cos $)x ;
puis
(F — u'ah){F — u'cd) = (ti^i — F cos 9)*, (7)
{ubcil — A*) M* — ¥{ah -^ Cl/ — 2> cos 6) u^ -h F* sin* ô = 0. (8)
Telle est l'équation qui donne, pour chaque valeur de 1, les carrés des demi-axes de la conique correspondante.
II. Admettons que les deux valeurs de n'^ soient positives; désignons par u la plus grande, par v la plus petite. Le rapport 7 devant être minimum, on doit avoir vu.' — pv' = 0, ou
(^ ■■' ft
tj.', v' désignant les dérivées relatives à l.
On a
ah + cd — 2 A cos 6 F- sin'' 6
|X -f- V = F — — — - — > IJ.V =
abcd — a" abcd
et, par conséquent,
{fi -+- vf {ab -t- cd — 2>. cos ôf
At> {abcd — A") sin^ d
ou
fi y {ab -t- cd — 2a cos 0)*
V /A {abcd — i^) sin'^
La dérivée du premier membre étant
il en est de même pour celle du second membre. Ainsi, après suppression du facteur ab -+- cd — 2X ces 0 (*) :
abcdcosS ,.^,
ah -{- cd
m. Quand l'angle G est droit, 1 équation (1) devient, à cause de 1 = 0,
ah{y — c){y — d) -+- cd[x — a){x — b) — abcd = 0.
Le centre I est l'intersection de la perpendiculaire au milieu de AB, avec la perpendiculaire au milieu de CD.
Dans le cas général, la détermination de l'ellipse cherchée repose sur les remarques suivantes, dues, en grande partie, à l'illustre Steiner.
1° D'après les équations (5), le lieu des centres de toutes les coniques passant en A, B, C, D, est V/njperbole H représentée par
y ^ cd{x — a — b) X ab{y — c — d)
2° Les asymptotes de H sont déterminées, en direction, par la formule
X y ab
5" D'après (6), les carrés des demi-diamètres de l'ellipse E, parallèles, respectivement, à ces asymptotes, sont donnés, euxmêmes, par cette autre formule :
cd db 2 cos 5 V^ubcd ■+■ ab ab -+- cd
F abcd ces 9 , /-- — - , , "labcd
abcd =b 4 — —V abcd ■+- abcd
ab -+- cd
Ainsi, ces demi-diamètres sont égaux entre eux {**).
(*) Ce facteur ne peut être supposé nul; car il résulterait, de celte hypothèse,
(**) Théorème de Steiner {Nouvelles Annales, t. IV, p. 481).
4" Les axes de E sont parallèles aux bissectrices des angles formés par les as\niploles de II.
IV. De tout cela résulte la construction suivante, assez simple:
Soit pris, sur Ox, 0E=V/ft6; et, sur ()?/, OF=l/cd. Par le point E, on mène la parallèle à O/y; on prend, sur cette droite, EG = EH = OF; on trace OGY, OHX; et Ion prend arbitrairement, sur ces deux directions, ON = OM.
Sur la parallèle à OX, menée par le^oint N, et^qui rencontre Ox en R, Oij en S, on prend i\R' = ||\ NS' = ^'.
Si, par le milieu de AB, on tire la parallèle à OR'; et, par le milieu de CD, la parallèle à OS', l'intersection de ces deux dernières droites est le centre de E.
V. Remarque. — D'après les formiiies (5), les équations de OR', OS' sont, respectivement :
ab CCS 9 ab •+- cd
cd ces ô ab -^ cd
Ainsi, les coefficients angulaires de ces mêmes droites ont pour valeurs :
ab -+- cd '2cd ces 0
2a6 CCS ô
ab ■+- cd
La construction précédente détermine donc, graphiquement, deux droites dont les coefficients sont compliqués.
