CXVII. — Sur la courbe de 1% att

(Avril 1872.)

Problème. — Un quaclrilalère ABCD, dont la base AD est

fixe, et dans leciuel les côtés AB, CD sont égaux, est articulé en A, B, C, D. Trouver l'écpiation du lieu décrit par le milieu M du quatrième côté.

I. Lemme (*). — Si un quadrilatère a deux côtés opposés égaux :

\° ces côtés sont également inclinés sur la médiane des deux autres côtés; 2° la projection de chacun d'eux, sur la médiane, est égale à la médiane.

(') Énonce et dcnionlrc dans le premier volume de la Nouvelle Correspondance matiicmatique (1874, pp. 51, 65, ICI).

Moiions les «Iroilcs \iE, C.V |i!u;illèles .^ In iiu'diaiu' MO. Par II' poinl (), nienoFis KOF jcuiillèle à BC. Mnlin, Iraçons les droites AK, 1)K.

1" D'après la eonstruelioii, JU-^O.M , MOFC sont des |»arallélojii aminés ; donc HE = OM = CF, OE = BM = MC = OF.

2° Les liianjiles AGE, DOF sont égaux, eomme ayant nn angle égal eompris eime deux côlés égaux, cliaeun à chacun. Ainsi AE = DF. De plus, ces droites sont parallèles; car les angles OAE, ()I)F, allenu's-intcrnvs, sont égaux.

Par suite, les triangles AHE, DGF sont égaux, parce qu'ils ont les côtés égaux, chacun à chacun. Donc anfjle ABE = anfjle DCF.

5° Les angles égaux, AEB, DFC, sont supplémentaires, à cause des situations respectives de leurs côtés. Donc chacun d'eux est droit. En même temps, les droites BE, CF, vf/ales à la médiane (1°), sont éf/ales et parallèles aux projections, sur MO, de AB, CD.

IL Eqiation de la roiRBE. — Soient AO = OD = a, AB = CD = b, BiM = CM = c. Soient, en outre, OiM = u, MOD = 0).

A cause du triangle rectangle CFD,

tr- = 6- — Î13'.

Pour évaluer FD, prolongeons cette droite jusqu'à sa rencontre, en G, avec OiM. Il est clair que :

FD = DG — FG = a sin ce — FG, FG = Vc' — à' cos' a-. L'équation demandée est donc

n^ = Ir — [« si 11 co — vc' — a' cos'' co]*,

tr -f- r — // = ((■ cos l2cc -+- "la siii ce V/c" — a' cos" w. (1 )

ÀddUion. — {Juin 1885.)

IJI. Ro7tiar(jves. — 1" Celle équation (1) peut encore être écrite sous les trois formes suivantes :

{u"- ^ c^ — a'- — by = 4a^ {Ir — u') sin" c., (2)

(6^ uj — 2c\b- — 7r) + («- — c'f -+- 2«'(6' — II') cos 2« = 0, (5)

u-i-c — «- — b-y 4a c — (ir -t- a- -+- c" — b-y

IO-2 ^ î^ i f4)

2° Considérons le parallélogramme MCDH, dans lequel MH = 0, DH == c. Si nous menons la droite 011, elle est perpendiculaire à CM (I, 5"). De là résulte le dispositif suivant, probablement connu et peu pratique:

La ti(/e DH, qui tourne librement autour du point fixe D, est articulée, en H, avec une seconde tige H M. Si les côtés d'un anr/le droit HOM, dont le sommet est fixe, (/lissent dans des ouvertures placées en H, IVI , l'extrémité M de la tige HjVI décrira la courbe de Watt.

Autre addition. — (Août 188o.)