const

Celle condition exprime que la (jénératrice fait, avec le plan xy, un angle constant; etc.

IL La généralisation du théorème piécédent semble être celui-ci :

Si les génératrices d'une développable 2 sont normales à la (*) Réciproque d'un théorème connu.

( loi )

directrice, elles font, arec les plans usciiluteura cuirespundunis, des angles conslanls.

Mais // îi'en est rivn.

CoiisiiliTons, en «'llVi, tiiie courhc gauche AMB (*), arèle de lebroiisseiiienl de 1, e( doni une développante soit liPd : l:i tjénératrice Ml* est normale, en P, à la directrice BPC. Soil PlN la binonnale à cette directrice. D'après un théorème connu (**) : la binonnale P>, à la dérelnppanlc, est parallèle à la rectifiante MG de la dèreloppée. Or, l'angle (îMP est variable; donc, etc.

111. Ce théorème ayant été peu rcmar(|ué (*'*), nous allons en rappeler la démonstration.

Soit iMP = H. D'après la déliniiion de la développante,

arv A M -t- Ml* =^ vonsl, ou

.s- -+-!<= consf. (5)

Donc, s étant prise pour variable indépendante, u = — 1. Soient a-, y, z les coordonnées de M; X, Y,Z les coordonnées de P; «, b, c les cosinus direclifs de iMP; etc. Nous aurons :

X = X -i- (iK , Y = ij ~h bu, Z = : -i- eu ; (6)

b'c" — cb" ^ c'a" - «'c^ ^ a'b" — b'a" ^ "' ^^^

Les cosinus direclifs de PN sont, comme on sait, proportionnels à

YZ — Z'Y', ZX — XZ', X'Y" — Y'X.

(*) Le lecteur est prié de faire les figures. (■*) Théorie analytique des lignes à double courbure, p. 63. {'**) Il avait même, jusque dans ces derniers temps (octobre 1885), clé oublie par IWuleur.

Donc )., y-, v élant les angles formés, avec les trois axes, par la hi normale :

COS A ces [i COS V

Soit encore G l'angle MPiV : chacun des trois rapports égale

2«(6'c"- .7/') ■ On sait que (*) :

-, ca — a c = — I -

b c — c b ' = — i — -I — ) ' eu — u c = — I — -+- — ; » pMr p/ 0^ \r J

a'b" — h'a" = 1 ( - -t- - j , y a{b'c"- c'b") = -1- • pM r p / -^ p'^r

Conséquemment

cos)i=(aH--/jcos9, cos,«=(6-H-»ncose, cosv=(c-+--njcos5. (1 1)

Or, les premiers facteurs sont proportionnels aux cosinus direclifs de la rectifiante (**); donc le théorème est démontré.