IV. Remorque. — Il résulte, des dernières formules
Si Ton veut que l'angle G soit constant, on doit avoir
- = const :
la développée est une hélice, et la développante est plane (***).
V. Corollaire. — AMB étant une courbe donnée, dont les développantes sont CPD, C'P'D', ...; les binormales PN, P'N', ... aux points situés sur une même tangente MPP'P" ... à la première courbe, sont parallèles entre elles.
{'} Théorie analytùjuc..., pp. 14 et 16. (**) Loc. cit., p. 27.
(***) Voir les paragraphes IV et V du petit Mémoire intitulé : Remarques sur la théorie des coiirhes et des surfaces.
l'XIX. niM4-|IKWl4»ll 41*11114' WII|TH4*C
(Mars 1870.) l'ROitLi'.MK. — / nr s/i/irtf ('. csf conju')'. par an /ihni ftVOi/, s///-
Fig. i.
vant une circonférence FG. Sur FG, prise comme circonférence de f/rand cercle, on construit une sphère D. Quelle est l'enveloppe (*)?
J. Soient OC = 6, AC = «, GOx= 0. Les coordonnées du centre D sont
a^ 6 ces* 6, S = 0, y = hs\nôcos
(*) La question a été traitée, en partie, par Houtain (Des solutions singulières. Bruxelles, 1884).
L'équation de la sphère variable est donc
^x — b cos^ 9)- -+- y" H- (- — b siii 6 CCS ôf = a' — b^ sin^ d,
ou
- a-^ + »/--+- z' — 6a- — b{x cos 2^ + r sin 126) -+- h^ — rr = 0. (2)
Prenant la dérivée, on a
tg2ô = l- (5)
Ainsi, la surface enveloppe est engendrée par la circonférence KL, dont le plan LOy fait, avec xOy, l'angle 29 (*). Si Ton écrit ainsi les équations (2), (o) :
b{x cos 2ô -t- z sin 2ô) = a' -+- y' -*- z^ — hx -+- b^ — a', b{x sin 2e — z cos 26) = 0,
et que Ton fasse la somme des carrés, on trouve, comme équation de Fenveloppe,
IL Les sections par les phns prindpaux xOy, zOx ont pour équations :
(x^ -+- ,/ — bx-^b" — ay- = b^x\ (5)
{x-^ ^ z' — bx -h b' — ay ^ b\x' -+- z') {**). (())
(*) C'est ce que l'on vérifie en observant que ;
i° 0 est le centre radical de la circonférence C et des circonférences consécutives FG, F'G';
2" La corde commune, KL, est perpendiculaire à la ligne des centres, DD';
S" Ces centres, D, D, appartiennent à la circonférence décrite sur OC comme diamètre;
4» A la limite, DD' est tangente à cette circonférence;
5° Le rayon DI, parallèle à LK, fait, avec Ox, un angle double de O.
(*') Au lieu de celle-ci, Houtain a trouvé :
Ainsi, la section par le plan zx se composerait de deux circonférences ayant, pour centre commun, l'origine; résultat inadmissible.
L;» prcmiôrc. (Hii se tléfomposo on
roprt'senle In ciiconféiencc horizontale A(-I5. [iiiis iiiic ciiconférencc iniafji)iaire, si, comme le suppose la lifiure, /> surpasse (i. I/é(|uatiou (6), (lu quatrième «legré, esl irréduetihle (*).
III. I èlaut le eeutre du eeiele géuéraleur LK (situé dans le plan LOy), on a
b 01 = ODcose = 6cos*0 =-(!-+- ces 2ô);
équation d'un limaçon de Pascal
Done, au lieu de la construction précédente, on peut employer eelle-ci :
Sur OC, connue diamètre, on décrit une circonférence, à laquelle on mène une tangente TT'; puis l'on abaisse 01 perpendiculaire à TT' : I esl le centre de la circonférence génératrice (**).
(*) Au moyen des coordonnées polaires, elle devient
u* — 6(1 rb cos u) u -h b- — a* = 0.
Soient », , ?/j les deux racines. A cause de »,«, = A'a', la courbe ne diffère pas de sa réciproque : elle est done une atiallaf/tnatiquc. La surface S en est également une. (Nov. 1883.)
(**) On vient de voir que l'équation de la section principale est
yî [>{\ -^ cos -29) !/-+-&«- O* = 0, et que
r = OI = -(l -+-cos20j.
Par conséquent, si l'on suppose
on a
pî = v* — (b^ — a').
D'après cela, soit pris, dans la circonférence OC, la corde CI* = a. Sur 01, connne diumèhe, décrivez une doni-circonférence. Soit l\ le point oîi elle est
IV. La circonférence KL (fig. 1), caractéristique de la sphère D, <;sl une ligne de courbure de S. Ainsi, le premier système de lignes de courbure se compose de cercles, dont les plans passent tous par la droite Oy (*). Le cône de révolution KDI^ est normal à S, en tous les points de la circonférence KL. De plus, le lieu lin sommet D est la circonférence décrite sur OC comme diamètre (**).
V. On a trouvé 01 = 6 cos'^ 0. D'ailleurs la figure 2 prouve que
voiipée par la circonférence décrite du point 0 comme centre, avec OP pour rayon. Si, du point I comme centre, vous tracez une dernière circonférence
Fig. 2.
passant en H, les points K, L, où elle coupe OF, appartiennent à la section principale cherchée.
De plus, la circonférence KRL est le rabattement, autour de sou diamètre KL, de la génératrice. (Novembre 1885.)
(*) Conformément à un théorème connu.
(**) D'après la figure 2, la droite DI est tangente, en D, à cette circonférence, laquelle est, par conséquent, Venveloppe des axes des cônes normaux. (Novembre 1885.)
Si l'on suppose (|iie le cercle ^énêrîUeiir, projeté Mii\;tiil KL, soit rahîUm .nitonr de ()//, dans le plan \ //, ['«'(jnation du raballenient sera
{X — h cns* G)* -^ y* = b* (OS* 9 H- (t* — b*,
on
., - -4- ^* — )>l)x cos* e = u* — h\ ( 7 )
.!• = 0 donne y = àz \/6* — o' V — 1 . Ainsi tons les cercles lUcourbure, après qu'ils ont été rabattus autour de ()//, passent par deux points fixes, imaginaires.
L'équation des cercles C, orthogonaux à ceux-ci, est
j.* ^if -i- lny = Ir — a* (*), (Sj
). étant un paramètre variable. Chacun de ces nouveaux cercles rencontre Ox en deux points fixes, déterminés par
Faisons tourner C autour de Oy : il engendre tnie sphère, dont rintersection avec S détermine une trajectoire orthogonale des premières lignes de courbure (**), c'est-à-dire une ligne de courbure appartenant au second système. Celui-ci est donc composé de courbes sphériques (***).
