CXX. — Sur les lig;iics «le courbure

(iXovembrc 188o.)

I. Lemme 1. — Si les lignes de courbure d'une surface S, appmtmanl à un même système, sont orthogonales à une surface S , rintersection de S et de 2 est une ligne de courbure

de S.

Soient L, L', L" ... les premières lignes de courbure. Soit iMM'M" ... rintersection des deux surfaces. Menons MR tangente à L, MT tangente à MM'M" ... D'après rijypolhèse, MR est normale à 1. Conséquemment, la droite MT, située dans

(*) Cette proposition resuite, déjà, de l'équation (6). laquelle ne représente pas deux circonférences.

('*) Note complétive de la précédente.

U" pinii t;«r)i:(iH ;i 1, t'st perpendiculaire à iMH. Donc MM'M" ...

est une trajecloire orl/iuyouale de L, L', L" ... ou une li(jne (le courbure appartenant au secoiid système (*).

II. l{rniarqiies. — I" Le plan UM'r esi liingenl à S; donc la normale ÎMN à celle surface est perpendiculaire à H!M : les deux surfaces sont orthogonales en tous les points de iMM'M"... El comme cette courbe esl une ligne de courjjure de S, elle est aussi une li'f/ne de courbure de 1, conformément à un théorème connu.

2" Si les lignes L, L', L", ... sont planes, leurs plans enveloppent une développahie A. Pour avoir des surfaces 1, il sullit <k' considérer les surfaces d'enroulement, engendrées par L, L',L", ... (|uand leurs plans roulent, sans glisser, sur A; puis les trajectoires orthogonales d , G', G", ... de ces lignes, après qu'elles sont venues se placer dans un même plan P, puis les surfaces d'enroulement engendrées par G, G', G" ... : ce sont les surfaces demandées (**).

5° On peut adopter, comme surfaces 1, les normalies à S, passant par les secondes lignes de courbure.

III. Lemme II. — 5/ une sphère 1 coupe, orthoçjonalement, un système de lignes L, L', L", ... tracées sur une surface S, l'intersection est une ligne de courbure de S.

En effet, rintersection est une ligne de courbure de la sphère, et les deux surfaces sont orthogonales en tous les points de cette ligne. (Lemme 1.)

(*) Coltc (lémonslralion sera, pcut-clrc, jugée inutile; mais je crois qu'on ne saurait être trop clair.

(*') Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces, p. lu.

( no )

IV. Lemme III. — Étant donnés un cercle C et une droite XY, on projette le centre C en 0; puis l'on mène la tangente OA, et, d'un point quelconque M de XY, la tangente MT. Cela posé,