MT — OA = OM

V. Théorème I. — Soit une surface S, engendrée par nne cirro7iférence C, dont le plan contient une droite donnée, XY, et dont le centre se tneut dans un plan P, perpendiculaire à XY. Si cette circonférence, dans toutes ses positions, est orthogonale à une sphère donnée, 2, dont le centre soit le point 0 oii XY perce P :

1° Les circonférences C forment, relativement à S, un premier système de lignes de courbure:

2° Les secondes lignes de courbure sont déterminées par des sphères ayant leurs centres sur XY (**).

Démonstration. — 1" Keprésentons par R le rayon de la sphère 2, par & le rayon (variable) de la circonférence C. La condition d'orthogonalilé est, évidemment,

p^ = ÔT:' — R- ;

C désignant le centre de la circonférence génératrice (***)• Si, comme on le suppose, celte condition est remplie, l'intersection de S et de 2 est une ligne de courbure de S. (Lemme II.) 2" Soit 2' une sphère ayant son centre M sur XY, et dont le ravon R' soit donné par la formule

D'après la réciproque du Lemme III, cette sphère 2', dont le rayon ne varie qu'avec ta position du centre, est orthogonale à toutes les circonférences C.

5° Les intersections de S, par les sphères 2, 2'..., sont donc

C) Cette fois, nous supprimons la démonstration.

(*') Ce théorème renferme, comme cas particuliers, diverses propositions connues.

("") Ainsi, le lieu (/e.« centres e.tt arbitraire.

les .secondes lignes de ruurbure dv S; cl, ni coiistMinoiicr , les /neiHiores lignes de rourhure sont les circonféremes génératriees.

\'l. Cercles orlhugonanx. — Soil, djuis le plan vertical Zj, ACB le lieu des tenlres «les lignes de eourbuic circulaires, doiii les plans contiennent V horizontale ()// (*). Soit FK(ilI la sphère donnée 2, qui doit couper ortliogonaleinetit toutes ces lignes. Si

nous rabattons le centre C en Cj; que nous menions la tangente C,T au grand cercle 0; que, du point C, comme centre, avec C|T pour rayon, nous décrivions la circonférence DjE,, cette ligne est le rabattement de la ligne de courbure circulaire, projetée en DC; etc.

Les rabattements des cercles de courbure sont donc les cercles orthogonaux à FHGK, agant leurs centres sur Ox.

Les traces horizontales des sphères 1', orthogonales à ces

(*) Dans celte petite épure, Oa; est la ligrie de (erre.

lignes (le courbure, sont, par ce qui précède, les cercles orthoiçonaux à Cj, et, dont les centres sont situés sur 0//. Ces deux systèmes de cercles orthogonaux, situés sur le plan xij, déterminent donc, de la manière la plus simple, les deux systèmes de lignes de courbure.

VU. Suite. — Si Ton fait OC, == OC = >, les cercles C, sont

représentés par

x^ -+- y' — 2AX -+- ir = 0. (I)

Ceux qui les coupent orthogonalement ont pour équation

Elle est vérifiée par ?/ = 0, oc = rb R. Donc toutes les sphères 2' passent par la circonférence FGHK, située dans le plan vertical OZx.

VIII. Remarque. — Si Ton veut former Téquation différentielle (|ui caractérise les trajectoires orthogonales des cercles C, on doit éliminer l entre la relation (1) et

X — A dx

Celte équation différentielle est, par conséquent,

{^tf -c^ H- R-) ^-^ -+- 2x?/ = 0. (5)

L'équation (2), des cercles orthogonaux, satisfait à celle-ci. De plus, elle contient une constante arbitraire. Ainsi, Xéciuation (2) est l'intégrale générale de l'équation (o) (**).

IX. Vue anallagma tique. — La section principale de la surface S, ou le lieu des points D, E, est une anallagmalique. En effet,

0!) . OE = ÔC' — CD* = R' = coHSt.

(*) Page 109,

(**) Dansma Nolesur la projection stércocjraphique f]' a'x omis celle Remarque.

( 115 ) Soit, en général, un pôle (), cl iinr courbe AMIJ, plane ou ;i N

double courbure; puis rantilIngniatiqucCPD, C'P'D', délerminée |)ar la condition

>ïp' = ôyi* — Ir.

D'après une propriété connue, les normales en P, P' se coupent sur la perpendiculaire MR au rayon vecteur. On trouve aisément que, ON étant la sous-normale polaire, relative à la

directrice AMB,