CXXII. — Une propriété des surfaces conchoï«laIes

{Février 1872.)

I. 0 étant le pôle, soit OMPQ ... un rayon vecteur quelconque,

rencontrant, en M, P, Q, ... des surfaces conchoïdalcs, déduites d'une surface directrice donnée. D'après un théorème connu (***), les normales en M, P, Q, ... percent, en un même point N, le plan mené par le pôle, perpendiculairement au rayon vecteur.

Soient, sur le plan des normales, MM', PP', QQ', ... les traces des plans tangents. On sait que l'enveloppe de ces droites est une parabole ayant 0 pour sommet et N pour foyer. Donc V enveloppe des plans tangents considérés est un cylindre parabolique.

(*) Exception indiquée précédemment.

('*) Omise dans le paragraphe IX des Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces.

(***) Loc. cit., p, 25.

11. Remarques. — 1" .1 c/iaque rayon rectciir rnrrespoufl tin ri/liudre parabolique ;

"2" Le rayon recteur est la poilairc du ri/lindre, rcladrentent au point i\;

5" L'antipodairc d'un cylindre parabolique, par rapport au foyer d'une section droite, est la yénératrice située dans le plan principal.

ClLXIIf. — llolation entre «leiix ^'pieyeloïdeN.

(Janvier 1872.)

I. Soii In circoiiféieiKC 1, roulant sur la circoiifércuce (1, double

de la première. Le poinl Q, d'abord situe en A, décrit une épicycloïde à deux rebroussements.

MG étant le diamètre de I, passant au point de contact M, menons l'ordonnée i\lP, la tangente commune IMR, les cordes MO, GQ.

11 est visible (et connu) que

angle MGQ = - angle MIQ= angle JMCP = cp.

Donc les triangles rectangles CPM,G1MQ sont égaux; et MP=iMQ.

D'après un théorème connu (*), MQ est normale à l'épicycloïdc.

Ainsi, la circonférence M, décrite du point M comme centre, avec MF poî/r rayon, touche, au point Q, l'épicycloïdc. Par con-

(*) Attribué à Descartes.

séqueiit, cette courbe est l'enveloppe de la circonférence M, variable (le grandeur et de position.

II. La tangente MR est bissectrice de l'angle PMQ. Et comme MP=^iMQ, la droite PQ est perpendiculaire à MR, c'est-à-dire parallèle à CMG.

Prolongeons celte droite PQ jusqu'à sa rencontre, en S, avec le diamètre perpendiculaire à CA; nous aurons PS = CM=rt.

Ainsi :

Pendant que la circonférence M enveloppe l'épicycloïde à deux rebroussements, la corde PQ enveloppe l'hypocycloide, à quatre rebroussements, déterminée par une circonférence roulant à l'intérieur de la circonférence C.

Addition. — (Juin 1886.)

III. Achevons le rectangle PCSE ; et, du sommet E, abaissons ER perpendiculaire à la diagonale AS. D'après la théorie des centres instantanés, le point R est celui où la droite AS touche l'hypocycloïde. Mais, d'après les constructions précédentes, PQ = 2PR. On a donc ce théorème :

Soit une droite PS, de longueur donnée, glissant dans un angle droit. Si, à partir du point R, où cette droite touche son enveloppe, on prend RQ=5RP, le lieu du point Q est une épicycloïde à deux rebroussements (*).

IV. Remarque. — Le point Q peut être pris de part et d'autre du point R.

(') Si Ton conserve les notations précédentes, on trouve que les coordonnées du point Q sont

équations qui sont bien celles de répicycloïdc.

( llî» )

I. In (léieloppemenl ilr ht fonclion [{</). Soit, comme aux pages 75 à 7') ilu Môinoiic cilé : I / -2u \ </ if' (f

Dans la sério

t'ha(jut' lermc posiiiT pciii èlre roprcseiilé par-j^„,r/ ayant la forme 4a ■+- 1. De même, chaciiie terme négatif, pris en valeur ahsolue, peut être désiitné par-j^Tj, b ayant la forme 4y. — 1.

S est (abstraction faite de 7" -1- 7^") l'ensemble des termes dans lesquels les exposants de i\ n'ont pas la forme iu- — 1 . La somme delà série entre parenthèses estj^^ . Donc

"1" Semblablement,