A cause de

(*) Recherches... f p. 2.

(**) Fundamenla..., p. IH, (***) En passant, rappelons que :

(7 — 7* — 7*^ -H fy*'-* -4- 1 / w \«

(-]*(i -f-i/OVi-t-^'i* Fri/rTF-[/2t/Â^'T.

1/2 \4t {Recherches..., p. 102.) (") Recherches..., p. 2

( 124 ) l«i premier membre a pour valeur

(^yF(-2-^-^)=(^y|[(i^/cT.(i-/cTj

Vw\2 (ccV 1

- (1 k')-=\(jq\] -+- f/ + f/'--' -4- r/" H- .-.j^C).

Donc l'égalité (15) devient

f/(l -+- ff- -H (f^ H- 7'' -+ •••)^

X [(1 + "^q' -4- 27' H- 2ry'« h- •••)' -+- U\q'{\ + 7^ -+- 7'- -+- 7-*]

i — ff 1 — 7«

On sait que :

Donc le premier membre de la relation (14) peut être remplacé par

A[l -H 8Bh- 1()C], en supposant

(*) hccherchcs..., pp. 2 et 5.

(**) Legendre, pp. 155 et 134.

1—7* I — 7'" I - 7^" I - 'r Par suite, SA(H-.i>CM3'-3)^, H-(o^-'))^„ -v(7'-7)^ -^... (Ib)

II reste à développer, suivant les puissances de 7, chacun des deux nieml)res.

Or, il est connu que (*) :

oc /^»

donc

B -+- 2C = 5 2 (7'' -<- 7*' -+- 7'' -+- 7"' -^ ■■•) fi; ou, plus simplement,

Ainsi, au lieu de l'égalité (15), nous avons :

El comme le second membre a pour développement

2 q-l^n) - •C,{n)]rh

(*) RccfiercfH's...y p. 7U.

(**) Dans cette nouvelle formule, p est supposé pair, et i' représente te plus grand diviseia- impair de p (Reclierc/ies..., pp. Ho et suiv.). (***) Rcclierches..., p. 117.

( 12() ) I équation finale cherchée est

i>4 [%q' fi) ■ (2]°'/"./^') ^2%"^(n) - K^{n)\, (17)

n étant impair. En outre, la relation (13) peut être écrite ainsi :

l9[(l+7 + r/ + r/«-t--)'-+-(1-7-'/'+7''+'")'] = 2^'/"?3(«);(18) ou, par le changement de q en 9* :

w étant impair.