VI. Théorèmes d'Arillunétiqtie

l'' ToM^ multiple de 8 es^ /a somme de huit, carrés impairs (**) ;

2° 5i /'on /a/7 n = di, le nombre des solutions de l'équation

ï? + il H- ••• M- î| = 8w

est égal à la somme des cubes des diviseurs d (***) ;

5° Soit n = S-^i -t- i, i e? i' étant impairs. Soient |i(n) =f^, |3(n) la somme des cubes des diviseurs de n. On a

4" Vident i té

JL^ ^, -A -.3 i +...= r^ *3 -£, -.-6 -i, +...(•, (20) 1+^/ \-i-q' \-hq' i~q l-r/^ I-?'

(*) Dcnionlrcs dans les Recherches... ^ pp. 100 cl H7.

(*') Résulte de l'identité (11).

(•*•) Même idcnlilé (11).

(") Identité (17).

(') Reclierches..., p. 7!).

( 127 ) enlraiiie celle-ci :

dans laquelle i esl un diviseur Impair de n, et /) un diviseur /}ojV. Kn conséquence :

La somme des diviseurs d'un noïnbre cnlier w, (pd donnent des quotients impairs, se compose de la somme des diviseurs impairs, aufjmentëe de la somme des diviseurs qui donnent des quotients pairs ;

proposition assez visible (*).

VII. Remarques. — 1" Si Ton développe, suivant les puissances de q, chacune des fractions composant le premier membre de l'égalité (20), on trouve que ce premier membre équivaut à

(1-7^ (I-7V (l-v'T (I-7T Par suite,

jr^' (1 -7T ~ (i - 7T ~ (I -7V

" i fi

2" Celte identité en donne une autre, assez remarquable. D'abord, on peut l'écrire sous la forme abrégée :

"■ ^"^ (il — ^)q'' — nn^"

n étant impair.

Changeant 7 en — 7, et retranchant, on a donc

7' x:" H'* — 07" — nq'^" {n — 1)7" -t- n7^"1

\\-qy^A [ ( 1 - q"Y "^ (1 -^ 7")' ^J'

(*) 11 n'en est pas de même du théorème 1°, implicitement contenu dans le Traité àc Legendre (t. III, p. d3ô). La démonstration directe, si elle n'a pas été faite, est désirable.

Si l'on fait n = 5 + 2w', et que Ton remplace q"^ par r/, on trouve, finalement,

2„ (i^3+2„-)2 [\ — qf' ^

Ainsi, la série

4 2<y^ 2«/ — ôf/'' 07' — 4f/ 47' — 5f/'^

dont la génération est assez compliquée, a une limite fort simple. En outre, le développement, suivant les puissances de q, est

3° Par la transposition des termes négatifs, on a encore :

4° Cette égalité (24) présente une particularité curieuse. Si Ton développe les deux membres, suivant les puissances de 7, les coefficients de 7" sont composés des mêmes parties, disposées en ordres contraires. Par exemple, dans le premier membre, le coefficient de 7'^ est 5 + 4.2+13; et, dans le second. 15 + 2.4 + 0. On vérifie cette propriété en s'appuyant sur celle-ci, laquelle est presque évidente :

Les valeurs entières et positives (ou nulles) de x, y, qui satisfont à l'équation

satisfont à celle-ci :

C J'^!» ) \lll. Autre (Ivichppemcnt. — I" Reprenons la formule

Il en ré?nIto :

Pour évaluer le premier membre, j'observe que l'on a, simultanément (*) :

I / /2<of

(lune

pui>

1 / iA'