TT

Ir -1 lw(I— fc')

et, par conséquent,

4 TT i-7* 1-7* 1—7'- 1—7"' I — 7"*

\ r/^« I — 7" IX. Remarque. — Il est connu que

\a(l— le') 7 q' 7*

C) Recherches.... pp. 2 et 74.

(•*) Les exposants 5,25,45, ...; 4, 20, 5G, ...; 9, 21, 53, ...; 12, 28, 44, ... ; forment quatre progressions.

(**') Legendre, t. III, p. 152.

( iôU )

On a donc celte identité :

réduciible à

I 7* \-ti* 1—7'» |7'^ |7'« 1-72" 1-726/

rifi)

X (**). Sur une (orniule d'Eisenstein. — On doit à ce profond Géomètre, mort beaucoup trop tôt, la relation suivante, qui donne une transformation de la série de Lambert :

(l-z)^l-z'^) (I - z){i - z'ni - z")

• (ii7)

Dans le premier membre, E représente la remarquable fonction d'Euler :

On pt'ut écrire autrement le second membre. En général,

(!-.)(. -!')...(i-c>) = 2I Fc. p)- ■■ m

F(«, p) est le nombre des décompositions de n, en parties égales oxi inégales, non supérieures à p ("). Donc

(*) Nous arrêtons ici celte Note, sauf à y revenir plus tard. Le sujet est inépuisable; mais il faut savoir se borner. (Décembre 1885.) (**) Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite. (Juin 1886.) ('•") Journal de Crelle, t. XXVU.

("') Recherches..., p. 17.

( »">! ) Soit

ou

Alors

= nombre des découiposiliuns de N en p parties inégales

Ainsi, le coelîiciLMil de z^ est

Soit maintenant G(N) le nombre des diviseurs de i\. Il est visible que, clans le premier membre de l'égalité (27), le eocfïicient de z^ est

On a donc cette relation entre deux fonctions numériques, bien différentes :

Est-elle connue?