III. Exemple

On doit trouver :

5 ~ 5 ~ 9/ (5.5. U)' "*" Is ~ 2 " rJ (5 . 2 . G)*

lin 1 (\ \ \\ A ^^

^5 2 4/ (5 . 2 . 4)' \9 G 4/ (9 . G . 4)' (*) Nouvelles Annales (1877, p. 555).

on, successivement

51 625=125.415; ce qui est exact.

IV. Remarque. — D'après les formules (7), (8) : \ f"{a) 1 1 i

2 f'{a) a — b a — c a — h Soient a, [3, y, ..., 'n les racines de f (a) = 0. On a

/ '(x) X — a X — p X — yj

et, pour X = a :

fia) 1 ^ « ^1

Par conséquent,

En d'autres termes :

Si une courbe parabolique, représentée par

rencontre en A, B, ... H l'axe des abscisses, et que A', B', ... G' soient les pieds des ordonnées des points pour lesquels la tangente est parallèle à cet axe, on a

âb'*'âc

4 i r 1 I il

AH 2 [aA' AB' AG'J

( lô;i )

\. ylulrc rt>ii(ir(jm'. — De la irlalion (Ilj, <>ii iléduit, par tiM c-iinrigcmciit de li-ltrus et une suniiiiulioti :

u-h/ \lt—x li — ^-i h-)il

\it - u it — -j a — >)/

éjialilé [(rcsque éviileiile.

\'l. Venons au théorème général (1), et prenons

f[x, ,j) = \!j"' -+- \,.7"'-' -4- ••• -f- X„. ,ir -H \,„,,i/ H- \,„ = 0. (ir.)

Dans celle éqiialion : X^ est une constante, X| est nu hinôme, ...

Les valeurs de y' , //", répondant à ?/ = 0, sonl, évidemmeni, indépendantes de Xq, X), ... X,„3. Nous pouvons donc, à l'équation (15), substituer celle-ci :

Prenant les dérivées, on a

2X„...,/yv' -^ X„,.,7' 4- \'„^iij- -+- X;„ iij -f- X'„ =0,

^K-iiyy" -^ y") ^- X-,.-i.y" -* '^X„ «.yy' -^ x:. ,»/' -*- -^'>n--2yy -+- x;,.-i2/' -^- X'„'..2?/' -+ X'^,»/ H- x;^ = o;

(*) De là résulte la proposition suivante : Soient les conrhcs C, représentées par l'équation

Xm -H X,„i// -+- \m-'ii/ -t- //''-Pva;, y) = 0,

dans laquelle la fonction y'j>(x, y) est assujettie à la seule condition de s'annuler avec y.

Soitf d'autre part, la courbe D, représentée par

Xm -+- X„,iy -4- X,„2.iy^ = 0.

1" ^e.v courbes C r/ ia courbe D on< /es mêmes intersections avec l'axe des abscisses;

2" £■;» ces points d'intersection, les lignes C, D ont mêmes centres de courbure. (Novembre 188b.j

et, pour y == 0 :

On tire, de ces deux équations :

X„, 2X,„2(X'm) — 2X„, .iX΄X„, H- (X„,..,) X,„

y" 2X„,2(X;„)^ — !2X,„iX^,X,„., -+- (X„,,)'X;„'

En conséquence :

La somme des fractions (17), étendue aux m racines de X„ = 0, est nulle.

VII. Application. — Soient : m = 5, X3^a'^ — x, X^ = x'', X, =a; H- i.

Au moyen de ces valeurs,

y" 2(x -+- 1 ) (5x^ — 1 y — 4x''(5x^ — I ) -+- (Ix^ p= (5x^-1f ■

Les racines de X3 = 0 sont 0, -+- 1, — 1. Ainsi :

ce qui est exact.

( ro7 )

C'^^\l. — ^iii* la «l4>foiii|>i»««ltloii (1*1111 «'iibc en «|ua(r<' «*iil»ew.

{fvirier 187 5) (*).