V. Lorsque ti = 0, N = R, D=l ; et l'équaiion (16) se

réduit à

Mf/u' -I- Rf/?< dv — Mr/î/ ==0. (17)

(*) A cause de

(**) Il est visible que, pour 0 = 0, -^ représente la tangente de l'angle formé par la tangente MT el la ligne MC.

( H ) On en conclut

dv= — du. 08)

R et y[ no conlienncnt que n\ donc le second membre est une

différentielle exacte?

Si Ton l'ait

R = — 2Miot(p, on trouve

(/(/ 1 (hi i

Vï. Dans le Mémoiie cité plusieurs l'ois, j'ai donné (p. 07), comme équation du lieu des points pour les(|uels la courbure moyenne est nulle :

\U- -t- Qi- H- K = 0.

(.a condition nécessaire et suflisante pour que AMB soit une de ces ligtjcs, est donc K =0. En consécpience (IV) :

Toute courbe C est une li(/ne de courbure moyenne nulle, relativement à la surface enr/endrée })ar les normales principales de C (*).

VII. Retnarque. — Au moyen de celte proposition, le théorème démontré dans le paragraphe IV devient évident.

En elTet, la somme des courbures des sections principales en M, égale à la somme des sections normales dirigées suivant MT et suivant iMP (**), est nulle. Donc la formule d'Euler se réduit à

(cos-ô — siii'o) = 0; Ri et il en résulte

C) Bertrand, Journal de Liouville, t. XV, p. 334.

(**) D'après la formule d'Euler.

(***) Cette démonstration est celle dont j'ai fait usnge pour déterminer les lignes de courbure de Vlièlicoïde à plan directeur (Journal de l'Ecole polv- TECHNiQiE, 29* Cahier, p. 142). Par la considération de Vindicalrice, on peut encore abréger.

XC^'II. — liig;acs asyinptotiqiaes d'uue surface

gauche.

(31nrs 1 8 64.)