I. Je rappellerai, d'iihord, ce théorème irénéral

Soient ab, a'b', a"l)", ... les sections faites, clans une surface S, jKir des ])l(Uis P, P', P", ... ayant une enveloppe E. Soient Ali, A'B' ... ce (/ue deviennent ces lignes lorsque les plans tnobiles, ai/ant roulé sur E, viennent se confondre avec un même plan v:, tangent à E. Soient enfin CD, CD', CD", ... les trajectoires orthogonales de AB, A'B , A"B", ... Si le plan t. s'enroule autour de E, de manière à prendre les positions P, P', P", ..., les surfaces d'enroilement 2, 2', 2", ..., engendrées par CD, CD', CD", ... coupent S suivuîit des lignes cd, c'd', c"d", ..., trajectoires orthogonales de ab, a'b', a"b", ...

II. Supposons que les courbes planes ab, a'b', a"b", ... soient des lignes de courbure de S. Alors les secondes lignes de courbure sont les trajectoires cd, c'd', c'd", ..., dont il vient d'être question. Comme je l'ai fait observer dans le petit Mémoire cité, la détermination de ces nouvelles courbes se réduit à la recherche des lignes planes CD, CD', CD", ... : le premier problème, appartenant à la Géométrie de l'espace, est ramené à un problème de Géométrie plane.

Si l'équation différentielle des courbes AB, A'B', ..., rabattements des premières lignes de courbure, dans le plan t., est

3Idx -+- N(/t/ = 0,

et que l'on puisse intégrer

Mrft/ — Mx = 0 ,

les surfaces d'enroulement, contenant les secondes lignes de courbure, seront connues.

(*) Bulletin de l'Académie (février 1872). Voir aussi les Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces (Mé.m. in-8», 1875).

Addition. — (Janvier 1886.)

m. Remarque. — La solution précédente est en défaut lorsque S est une surface d'enroulement. En effet, dans ce cas, les lignes de courbure aO, a'b', ..., égales entre elles {*), ont pour rabattement, sur le plan rt, une courbe unique AB.

Mais, quand il en est ainsi, les secondes lignes de courbure cd, c'd', ..., sont des trajectoires orthogonales des plansP, P',P",. ..[**).

IV. Supposons que l'enveloppe E se réduise à un cylindre. Alors chacune des courbes cd, cd', ... est la développante d'une section droite de ce cylindre. Les plans de ces lignes, au lieu d'être tangents à un cylindre, sont parallèles entre eux, contrairement à un théorème connu.

V. Une proposition de Monge. — On lit, dans VApplication de l'Analyse à la Géométrie (***) :

« Mais un plan ne peut être susceptible d'une seule série de » positions, et être mobile d'une manière plus générale que de » rouler sur une surface développable quelconque : donc il n'y » a point d'autre surface qui jouisse de la même propriété ; » donc la surface engendrée est définie d'une manière complète » lorsque l'on énonce qu'une de ses lignes de courbure est » constamment plane. »

Le sens naturel de la dernière phrase est, semble-t-il, celui-ci : Toute surface qui admet un système de lignes de courbure planes est une surface d" enroulement. Mais cette proposition est fausse. L'illustre auteur a-t-il supposé, tacitement, que les lignes de courbure considérées sont égales? Alors son théorème équivaudrait à celui-ci, dont la démonstration, si elle est possible, est peut-être difïicile :

Toute surface qui admet un système de lignes de courbure planes, égales entre elles, est une surface d'enroulement.

(') Remarques sur lu théorie..., p. IS.

(") Loc. cit.

(***) Édition de Liouvillc, p. 550. Il s'agit de la surface dont toutes les normales soiit tangentes à imc même développable, c'est-à-dire d'une surface d'enroulement.

( lis )

*'XXX. — Sur IMiial.vNO liitléirrniinôe il II N('<'«»ii<l 4l<*xrt'.

{Air il I87.".j 1. Kii supposant

X* -+- y- -+- :' = 1 , .j.r' -+- yy' -+- zz' = 0,

nous avons trouvé (*) Vidcntité :

(x" -4- .y- -^ z%{yz'- - zy'J n- (zx" - xz'J -^ {xy" - yx"f] ={x'x"-i.y'y"-^z'z"Y-h[(yz"-zy")x' *-(zx"-xz")y--^[xy''-yx")zJ.

Afin (|u'elio soil homogène, posons :

c'est- à -dire

puis, en changeant de notation :

(f-^cj-^h%{gk''-hgy-^{lir'-rirr-^{fcj''-yrf]] = k\rf +g'y' ^h-h'-f (A)

- Wh" - h' y") + y{h'f - fh'') + h{f'y" - y Dj. ]

De là résulte le théorème suivant :

Lorsque dix quantités entières satisfont aux conditions (1), (2), elles rendent identique l'égalité (A), dans laquelle le produit d'une somme de trois carrés, par une somme de trois carrés, se réduit à la somme de deux carrés.

Soient, par exemple :

C) P;.ge 54.

( 146 ) On doit avoir

(P -H 2- -H 6-)(ô= -f- 5-^ -+- 4^) = 55- -+- 15^ ou