IV. De l'équation (2), on tire, successivement

g'g" -*- hVi'- = rr — ^ghg'h', ig' -4- h'){g"- -H h"-) = rr -*- {l>9' - 9''')\

{g^- -^ Ir)P = kT- -^ ih' - gh'T" (C)

P représentant /"- -i- g'- -+- h"^.

(*) On verra, tout à l'heure, que la propriété énoncée y>ra/ subsister, même quand U et V ont des facteurs communs.

l IV7 )

\a' [iii'iuiiT lliéorème poul donc èlre remplacé par celui-ci : f- -+- jï'- -h W- est une soimiu- de deux carrés, ati moins lorsque kC el lig' — gh sont iireniiers entre eux (*).

\'. fiemarques. — 1" On a. simnilanétnent :

Ainsi :

P est une so7ntne de deux carrés, au inoins lorsque kir et fh — hf sont premiers entre eux; etc.

2" Le lliéorème ci-dessus (II) peut encore èlre énoncé comme il suit :

Soient six entiers, 1, jr, h, f', g', h' satisfaisant à la condition

ff -^ .9.'/' -+- /'/' ' = ^• 5/ l'une des sommes

est un carré, l'autre est, ordinairement, une somme de deux carrés.

3° Pour satisfaire à la condition (2), /", q, h étant donnés, il sufTif, comme on sait, de prendre

f'=g,—l,S, g'=liy. — fy, li'=^f}—ga; (3)

a, (3, y étant des entiers quelconques.

(*) Soient

valeurs qui satisfont aux égalités (1), (2). II en résulte

kr = 6, l,g' — gh'= 10;

8P = 6*-Hl0î, p = 17 = 4«-+-l*.

Ainsi, comme nous l'avons annoncé, P peut l'/rc une soin)iif <lr dviix carrés, même quand hg' — gh' et kf ont un facteur cnmmvn.

( 148 ) Il résulte, de ces formules,

P = kHa" -+- ^2 + y') — {fa + 9(3+ hyf. (D)

Ainsi, sauf les cas d'exception signalés (s'ils existent), le second membre, somme de trois carrés, est aussi une somme de deux carrés.

VI. Interprétation géométrique. — Soient a, (3, y les coordonnées rectangulaires d'un point M;(, |,^les cosinus directifs d'une droite OA, passant par l'origine 0. Il est visible que

P étant la projection de iM sur OA.

Soit P = A'-2 H- B2, ou

puis

Cette égalité, dans laquelle A, B, A: sont des nombres entiers, exprime que :

La distance MP est l'hypoténuse d'un triangle dont les côtés de l'angle droit sont rationnels.