X. Théorèmes d'Arilhmc tique. — 1" L'identité

(x -4- y -+- If -t-(x — »/f H- \=x- -t- (X -+- I)' H- rf-\-{ij + 1)-' (E) })rouve que :

Si un nombre impair, n, est la somme de deux carrés non consécutifs, n -+- 1 est la somme de quatre carrés, consécutifs deux à deux.

2° Si l'on suppose y ==x -h ^, cette identité devient

(2x -t- 3)"' -t- .j = X- -+- (x -+- !)'-+- (x -t- 2)'^ -+- (x -t- ùf. (F)

Par conséquent :

Tout carré impair (supérieur à 9), augmenté de 5, est la somme de quatre carrés consécutifs; et réciproquement (*).

(*) Dans le petit Mémoire intitulé : Sur un développement de l'intégrale elliptique de première espèce... (1886j, on trouve divers théorèmes sur les progressions. Par exemple, celui-ci ;

Dans toute progression arilhviétique, la somme des carrés de cinq termes consécutifs est une somme de quatre carrés.

(^XX'Vl. — mur un |»r«><liiit iiidriiiii-

{Morenihre !875.) I. Snit

DM encurr, |iîn" la sommation des séries verticales : On lire, de celle égalité (2), en prenant les dérivées :

- 7- (, ^)^ "*^ (1 .0-' (1 - x7 (1 - xr

On a anssi

(•) Ce produit, considéré par Euler, donne lieu, comme on sait, à la série, très remarquable,

l — a: — X^-HX^-t-x' — X'^ — X'5 H ,

développement de y {Recherches sur quelques produits indéfinis, p. 7). L'expression de cette série, rapportée dans le Calcul différentiel de M. Bertrand, est inexacte.

Conséquemment,

(\-xY (i-xy {\-x'f (i-x'Y

ou, ce qui est équivalent :

X x{i — 2x^) x^(2 — ôx') x'^(3 — 4x*)

Pour vérifier l'égalité (5), il suffît de remplacer chaque fraction par son développement en série.

Addition. — (Janvier 1886.) II. Si Ton suppose, avec Jacobi,

on trouve

y' 1 2itV o/t'V- E,(fc)^^^

^-^il- (7)