III. L'identité (6) peut être remplacée par celle-ci

1 — Hq' 7(2 — or/') q\^ — S^")

(1 -t- </ -H 7' -4- 7' -+- qj Soit îe„ le terme général du premier membre ; savoir

En le développant suivant les puissances de 7, on parvient aisément à Videntilé :

(*) Recherches sur quelques produits..., p. 92.

( iii3 ) l\ . Oïl vienl de voir (|iie 1 — 'J7' ^27 — Ô7* 37* — 47' 47^ — lu/

(1 fjy (I fj^f (I ,j^y- (I 7»)^ (1 7)^

D'autre part (*) :

(«-7V (\-qr (1-7'r (I - 7V (i-^r

Par conséquent, il y a équivalence entre les séries comj)osani les premiers membres.

C'XXXII. — ncn^L leroiiK de l*r<»lmliilltéH (1879) (**).

I. liègle de la moyenne arithmétique. — Supposons que l'on ait mesuré deux fois, trois fois, ... n fois une longueur inconnue, j-, et que les résultats obtenus, A-,, A.^, ... A„, soient très peu différents les uns des autres (***). Si toutes ces mesures sont également probables, c'est-à-dire si l'on n'a aucune raison d'en préférer une aux autres, on doit prendre

Soit d'abord le cas de deux observations, et, pour fixer les idées, k^ < A-^. Lltypothèse la plus naturelle est que x est comprise entre Aj et A^, et également éloignée de ces limites. Ainsi Ag — X := X — A, ; d'où

(•) NoteCWW, p. 428.

(**) Elles font partie d'un Traite inédit.

(***) Cette condition préliminaire, sur laquelle les Auteurs n'insistent pas assez, est absolument indispensable. Si trois observations, par exemple, ont donné environ 1 mètre, et une quatrième observation, 2 mètres, celle-ci doit être armulée.

Sil y a trois observations, on peut les combiner deux à deux, en prônant

ki -+- ki k., -+- k-^ A-5 -H kl

Les erreurs correspondantes seront

k^ -H kc, k-, ■+■ A") K2 ■+* Kz

Si l'on veut que la somme de ces erreurs soit nulle, on 9

réqualion

ÔJ7 — (A:, -t- /to -h &-) = 0 ,

ou

etc.

En général, d'après la formule (1),

Ainsi, /e principe de la moyenne suppose nulle la somme des erreurs.

II. Remarque. — Cette démonstration, très élémentaire, est peu rigoureuse. On l'acceptera, je l'espère, après l'énumération suivante :

1" Dans la Théorie des moindres carrés (*), Gauss, avant de démontrer (?) la formule (1), s'énonce ainsi, à propos d'un Lemme préliminaire :

« Si l'on objecte que cette convention est arbitraiie et ne » semble pas nécessaire, nous en convenons volontiers. La » question qui nous occupe a, dans sa nature même, quelque » chose de vague et ne peut être bien précisée que par un » principe jusqu'à un certain point arbitraire. La détermination » d'une grandeur par l'observation peut se comparer, avec

(•) Traduction de M. Bertrand (1857) (pp. 6 et 7).

» «(iicUpie justesse, i'i un jeu dans le(|uel il \ Hiirail une perle à » erairuire et aueiiii ^ain à es|)«''rer. » ... - Mais (|iielle perte » doit-on assimiler à une erreur délerininée ? C/esl ee (pii n'est •> pas elair en soi ; celte déternn'nation dépend en partir de ■• notre volonté... ■

« Laplace a considéré la question d'une manière analoj^ue... • Cette hypothèse (*j, si nous ne nous faisons pas illusion, n'est » pas moins arbitraire que la nôtre » ; etc., etc. (**).

Ce nVsi pas tout. Gauss dit encore : « La moyenne arithmétique » des valeurs observées est la valeur la plus probable de celte .. (juantité (x), sinon en toute rigueur, du moins avec une •> grande approximation, de telb' sorte (jue le plus sûr soit tou- » jours de s'y arrêter » (p. US). Le (iéomèlre rigoureux par excellence admet donc, comme axiome, une proposition fausse dans certains cas!

2° Encke a fait, pour le cas de trois quantités, une tentative de démonstration; mais elle suppose que la valeur la plus |)robable est la même que si, au lieu des mesures k^, k^, k^, on avait pris ^ (A-, -4- k^), ^ (A-, -i- A,), k-^.

Comme le l'ail observer M. De Tilly (***), cette hypothèse est, au fond, un poslulatum nouveau.

3° Dans son Traité élémentaire du calcul des erreurs ('"), M. Faà de Bruno s'exprime en ces termes :

« La valeur la plus plausible... sera celle dont les diiïérences » avec les valeurs observées seront les plus petites. Si cela est, » il faudra aussi que la somme de ces différences prises en » valeur absolue soit la plus petite possible. Pour réaliser celte » condition algébriquement, nous dirons (sic) que la somme » des carrés des erreurs doit èlre un minimum. »

Autant de mots, autant ... (.Verreiirs.

(') Celle de Laplace.

(**) Ces raisonnemvnts font songer à ceux qu'en)ploie Sganarelle (Le Médecin malgré lui; acte IF, scène VI).

("*) Nouvelle Correspondance mat liémalique, t. F, p. 1^*5. {") Page 1.^.

Soient, pour fixer les idées, OA = 5, OB = 6, OC = 8, Soit à déterminer le point M par la condition

AM -+- DM -f- CM = min.;

les distances étant prises en valeurs absolues. A cause de BM + CM = BC = 2, le point M, supposé situé entre B et C, doit être le plus près possible de A : il doit se confondre avec B. La formule qui répond au problème de M. Faà est donc x = b, et non x = -^^ — .

En outre, si Ton veut que AM'^ -f- BM^ + CM^ soit un minimum, on trouve

4" Meyer, mon savant prédécesseur, admet que « la valeur » la plus avantageuse (sîc) du résultat d'un grand nombre d'ob- )' servations est celle que Ton déduit de leur moyenne arithmé- « tique (*) ».

5" M. H. Laurent fait un véritable entassement d'intégrales (**).

6° D'après M. De Tilly, excellent juge: « le principe de la » njoyenne est établi ... lorsque le nombre des données est » infini et lorsqu'il est égal à deux ... il est impossible de » démontrer ... le principe de la moyenne entre tt^ois quan- >• lités (***) ».

7" Une Théorie analytique des moindres carrés, due à M. Biver, est basée sur la proposition suivante, véritable nonsens :

La dérivée de 9 (oc^ -h y'^ -{- z'^ -h ...) est

(p'(x- -t- / -^ z- -+- •••) X {'■2X -+- 'ly -4- Hz -+- •••) C).

(*) Calcul des probabilités, publié par M. Folie, p. 213.

(*■) Traité du calcul des probabilités, pp. 144 et siiiv.

('**) Nouvelle Correspondance mathématique, t. I, p. 144.

(") Journal de Liouville, 1853. p. 177.

( Ij7 )

III. Méthode (l(s moindres canes (*). — Soil P lii |)i'ol);ibililo (lu concours des erreurs A,, \, ..., Au. Après avoir dénionlré (?) hi fornuile

(Jauss en tiéiluil, comme il suit, \n refjle des moindres carres : « Il liuit, pour (lue le produit P devienne maximun), (|ue la

» somme

A; -+- A* +- Aj -4- • ••

» devienne minimum. Done le systè'me de valeurs des inconnue^, » le plus pr()bal)le, correspond au cas où les carrés d( s didé- » renées ... donnent la somme la plus petite possible, pourvu » que toutes les observations soient ("gaiement piésumées pré- » cises. » (sic) (**)

Voici une autre manière, très simple, d'arriver à la même conclusion.

Supposons (|ue des éléments inconnus, x, y, r, ... soient liés, à des paramètres a, b, c, ... /;, a, b', c', ... p', ..., par des équations de la forme

V = ((X -+- by -+- (T -+-••■-+- /j =^ 0.

Si les valeurs de ces paramètres étaient données exactement, les équations

en nombre égal à celui des inconnues x, y, z, ... détermineraient celles-ci.

De plus, on pourrait remplacer le système (1) par l'éqtiation ttnique

Au lieu de cela, et quelles que soient les valeurs adoptées pour X, y, z, ... , les seconds membres des équations (1) sont

{') On devrait dire : de la moindre somme des carrés. {") Méthode..., p. 121.

des quantités a\ iv' , ic", ..., très petites si les observations ont été bien faites : ces quantités sont les erreurs provenant des observations.

I/équalion (2) est remplacée par

La quantité lu:'^ ne pouvant être nulle, il est nahirel de disposer des valeurs de jc, y, z, ... de manière qu'elle soit la plus petite possible. On est ainsi conduit au principe de la moindre somme des carrés des erreurs, découvert, presque simultanément, par Legendre et par Gauss (*).