CXXXIII. — Hnv les uoriuales à certaines courbes

(Novembre 1873.)

I. Problème (** ). — Sur la tangente MP à une courbe donnée, AMB, on prend MP = 9(s), s désignant l'arc A M, compté à partir d'un point fixe A. Le lieu du point P est une ligne PP P"... On propose de construire la nor)nale PN, située dans le plan oscillateur à la courbe donnée.

■X, y, z étant les coordonnées de .M, les coordonnées de P sont, avec les notations ordinaires :

Par suite :

- = «('1 -+- ©') ■+■ a'cp, ds

ds

dzt

— - = f(| -+■ m') -V- f'tp.

ds

(*) l'our les développements, voir nos Retnarques sur la méthode des moindres carrés.

{"} Le lecteur est prié de faire lu figure.

Les premiers membres sont ptoportiouueh aux cosinns direelifs de la taiijîeiitc PS: donc rê(jiialiuii du plan normal, en P, à la eourlie IM*', est

Les é(|iiation"^ de la narninic priiniixih' MCI, à la eonrhe donnée, sont {* )

X — a" Y — Il Z — r

Les valeurs de X, Y, Z, satislaisanl aux é(|ua(ions (5), (4), sont les eoordoiinées du point i\ où la normale Pi\ reneonlre !>!(!. Si Ton fait M\ = /^ on a, par les proportions (4-) :

X — X = pu'o , Y — ij =- /i//p , Z — z = pr'o (*•). (5)

On a aussi

X — a-| = (X — x) — (x, — x) = pa'p — ((o.

Donc I équation (3) devient

S {pu':. — «9)[a(l -+- ?'j -+- «'9] = •>, ou

— -cp(1 -^ç') — 0, P

/> = p(lH-9')- (0)

IL Soit P| le point symétrique de P, relativement à i\I ; soit pi la distance M Ni :

;>. = p(l cp').

Par conséquent,

(*) Voii- notre Théorie analytique des lignes à double courbure, p. !). (■*) A cause de