IV. D'après les formules (2) et

'^ \as / p p 0

n désignant la longueur du segment PN de la normale.

Les cosinus direclifs de celte droite sont donc

-\a{l -+-©') -t- a'cp], -\b{\ -H 9) -+- 6'cpl, -\c{l + cp') -+- (-'(pi. H n n'-

Par suite, si 6 est l'angle des deux tangentes :

cos 6= -(1 -+- 9'), n

ou

cose = - = cos WCP. (10)

(*) Dès 1857, M. Mannheim a trouvé, /jowr les courbes planes, des théorèmes analogues à celui-ci. (Voir les Nouvelles Annales, les Annali mafemalica, etc.)

('*) iNous l'appellerons pseudo-parallèle.

(***) Propriété connue, évidente par la théorie des axes instantanés.

( ir.i )

En effet, PS est dans h plan oscuinteur P.MC (*), et les angles TPS, MCP onl les eûtes respeelivenicnt perpeDdieiiIaircs. De plus, par la formule (9) :

tts,

ds

Addifion. — (Janricr 1S^<(;.)

V. Considérons la développable S, ayant A.MH pour arête de rebroussement. Le [)lan latiiient en P, à S, contient la tangente PS à la courbe PI* . D'ailleurs ce |)lan est osculaleur, en M, à Tarète de rebroussement. Donc celui-ci con;ienl PS.

\'I. En revenant au cas particulier de PM = co7isf.., projetons „ la figure sur le plan osculateur PMC. Les

tangentes PS, QU, aux pseudo-parallèles, sont perpendiculaires, respectivement, à CP, CQ, ... Donc, d'après un théorème connu. Venvi'loppc do ces droites, c'est-à-dire l'antipodaire de MP, est la parabole qui a M pour sommet, C poxr foijer.