VII. Courbure do la pseudo-parallèle. — On a

(|uelle que soit la variable indépendante. Supposons que ce soit s. Alors, si nous désignons MP par A :

(Ixi =(o -+- a'k)ds, diji = ('^ -f- h'k)ds, d'xt = [a -+- a"k)ds% d'y, = [h' -+- h"k]ds\ dx,dhj, — dy,d-x, = [{ah' — ha')+{nh" —ba")k + (a'6" — 6(«")/c^]rysl

(*) Voir le paragraphe V.

A cause de JJJ =^, la formule (12) flevienl

pourvu que l'on fasse

Or (*) :

2 («6' - haj = V 2 («''" - ''''")' = -"^ (?' -^ '-'P')' P '"P

ir. 1/11

2(«b —ba){ab -ha )=— 2 Zl — ( ) = — T

y{ab' - bu'){a'b" — l/a") == y^

2 («6" — ba"){a'b" - b'a") = — 2 " Ainsi,

ou, après quelques réduclions faciles,

pA -+- nrç' le n\ \

rp' \r p/ p^

khiV

La formule demandée est donc

A-pp'j-

irn'Y"

A il p

(') Théorie analytique des lignes à double courbure, pp. 13 et suiv. (**) Ici, n est un cosinus directif.

\III. liemarfiues. — 1" Si l'on suppose r infini, auquel «-as la courhe donnée esl plane, la formule (14) se réduii à

i tr — A'os'

2" Nous venons tie rappeler (pie :

\ („/,' l,ay = i , \ («7>" - iya"Y = l (i -H - ) ■

- ^ ^ P» - ^ ' p* \ p* rV

n"un auirc côlé (*) :

S(uiy — ha )<■'■ = — •

Donc, par réliniination de r et de p ;

2 («'/'" - f''"'y = \ 2 {«''' - ''«')*]' -+- [2 («'^' - ^"')cT. (16)

Dans celle identité, a, h, c sont des fonctions d'une variables, vérifiant la condition

«* ■+- Ir -+- c" = 1 .

5" Soil U le rayon de courbure, en C, de la développée de A MB.

On sait (jue R = ûp'. La formule (H), si l'on adopte le signe -+-,

devient

On conclut, de celle-ci

puis l'élégante construction duc à M. Nicolâïdès (Nouvelles Annales, 186C, p. 585).

(*) Théorie analytique..., p. i6.