CXXXIV. — Duc iutéjï'rale d'écinatioii

[Juin 1874) (*).

Soit réquation différentielle

dont l'intégrale immédiate est

Comme facteur intégrant, on peut prendre

En effet,

dy \/x- -\- 1 V y- -+- I dx

De plus, le premier membre de la proposée est une différentielle exacte. Donc, si l'on remplace / par — c, et que l'on isole le radical, l'intégrale médiate, mise sous forme rationnelle, est

x'^ -^ y^ -*- 'icxy -+- 1 — c- = 0. (4)

(*) Introduction au théorème d'Euler, sur l'intégrale algébrique de

dx du 1 = 0.

\/l — c^sin^a; 1/ 1 — o- sin'^ //

( hi.'i )

C'!%.X\.%. — ^iiir Ion wiirTufC!»» 4»i'tli«»tfoiitil<'*».

{Juin 1874) (*).

1. PnoiiLK.ME. — Déterminer toutes les surfaces 1 qui ont fient, orthofjonaleinent, les surfaces S représent(k's par

Cherchons d'ahord les trajeclonos orthogonales des surlaces S. Soil Pdx -h ihh/ -i- Ihh la diiïérenlielle de F(x, //, c). Les ê(|iiations dillérentiellcs du prohiènie sont :

'if=:^=i^. (2)

Les surfaces S, se succédant d'une manière continue, admettent une infinité de trajectoires orthogonales; donc les équations simultanées (2) sont toujours infégrahles. Si

en sont les intégrales, celles-ci représentent toutes les trajectoires

cherchées, et

/■(x, y, z) = cp[A.(x, .V, z)] (4)

représente toutes les surfaces 1, <? étant une fonction arbitraire (**).

(*) Un extrait de cette Note a paru dans les Comptes rendus (séance du (i juillet 1874). La méthode est celle dont j'ai fait usage dans le petit Mémoire intitulé : Recherche des lignes de courbure de la surface lieu des points dont In somme des distances à deux droites qui se coupent est constante (Acaoémie nE Belgique, Savants étrangers, t. XXXII).

(**) De là résulte que si, comme on l'a supposé,

Pdx -H- Qdy ■+- Rrfs = 0

est intégrable, l'intégration de

équivaut au problème proposé.

H. PnoBLÈME. — 1" Reconnaître si les surfaces S, représentées par réqmition {\), appartiennent à un système orthogonal triple ;

2' Trouver, si elles existent, les surfaces 2, , Zg qui, avec les surfaces S, constituent le système.

Auribuons à la fonction ç deux formes parliculièrcs, ']/ et:: : si les surfaces correspondantes sont orthogonales, le problème sera résolu. La condition d'orthogonalité est

dyl '^[(Iz (If Y dx

dx dx dy dy dz dz

dy) ^. \Jz]

Dans cette équation :

En chaque point des lignes de courbure de S, déterminées par les surfaces 2, on a

/•(x, y, z) = ij>(S), /,(x, ?/, z) = |3. (7)

Si donc, entre les équations (3) et (5), on élimine deux des trois variables x, y, z, l'équation résultante devra être identique. En ex|)rimant les conditions nécessaires pour que la troisième variable disparaisse ainsi, en même temps que les deux autres, on obtiendra deux équations différentielles, entre ^,i: et ^ (*).

III. Problème. — Quelles doivent être la forme d'une fonction

F(a, b, x), et les valeurs des paramètres a, b, pour que l'on ait,

identiquement,

1" La fonction F, nulle, quelles que soient les valeurs atlri-

(*) Ce qui précède est tiré du Mémoire. J'ai conclu, de cette méthode, divers systèmes orthogonaux.

(*') Si l'on remplace a, 6, x par x, y, :, le problème peut être énoncé ainsi : Trouver l'équation des surfaces qui contiennent des droites parallèles à l'axe Oz.

( ir.7 )

huées à jr , doit, en parlictilier, être nulle pour x = 0. Ainsi, (l«''j;i, les paranu'ires satislonl }\ la oondilion

"I" Soil

('.elle fonclitii y, idcntiqtiefncttl mille pour x ^ 0, doit èlre toujours nulle, c'esl-.^-dire constante. Comme le preniicr terme est varia l)l(' et le second terme constant, la condition imposée est absurde, h moins (pie // ait la forme w(a, b)X, et que les paramètres vérilient l'érpiation (p(rt, 6) =0 (*).

5° De

F{«, h, x) — F(«, h, o) = cp;». h)X ,

on conclu! que

V(u, l>, X) = A -4- xX ,

tes (quantités A , )~ étant inde/jendanles de x , et la fonction X

n'étant pas infinie pour x = 0.

En outre, les valeurs des paramètres sont données par les

équations

IV. Revenons aux équations (3), (5); et supposons, comme précédemment, que les valeurs de x, y, tirées des deux premières, soient substituées dans la troisième. Si le système orthogonal existe, on devra pouvoir disposer des fonctions (p, n, de manière à faire disparaître z. D'après le dernier paragraphe, le résultat de la substitution a la forme A -+- )Z. Et comme les quantités '^' -+- t:', -^'t:' sont indépendantes de z, on a, séparément :

fdfV IdfV idfV

dxl \(hjl \dz.

df df\ df df\ df df

dx dx dij dij dz dz '

(*) La fonction X ne doit pas devenir infinie pour a; = 0. Elle peut contenir n et h.

Nous croyons donc pouvoir énoncer ce théorème :

Soient

les équations d'une infinité de lignes, trajectoires orthogonales des surfaces S représentées par F(x, y, z) = c Pour que ces surfaces puissent faire partie d'un système orthogonal triple, les dérivées partielles ^ , j-, ... doivent, après l'élimination de x, y, satisfaire aux équations (8), da)ts lesquelles les quantités A, B, C, \ p-, V sont indépendantes de z (*).