V. Au moyen des valeurs (8), l'équation (5) devient
(A -4- /Z) — (B -+- fxZ)(^|;' + n') -^ (C + -/ly^Tz' = 0.
Cette équation de condition, devant avoir lieu quel que soit z, se décompose en
A — B{<^' H- TZ') ■*- C^j^V =0, / — /X{'y -+- 71-') -+- V'^'tt' = 0.
Par conséquent, 1' et n' sont les deux valeurs de ■^, satisfaisant
à l'équation
IdoiV- hlx\ '
^^' "" ^^^ [dp] "^ ^^' ~ ^'^ [dâl -^ Af^ - »^^ = 'J' C-^)
du premier ordre et du second degré. Une équation du premier ordre ayant toujours une intégrale, il s'ensuit que: Si les conditions (8) sont remplies, il existe deux sé7^ies de surfaces 2^ , 2.2, formant, avec les surfaces S, un système triplement orthogonal. Les conditions (8), nécessaires, sont donc su/fisantes (**).
(*) Quand Téquation donnée a la forme
les égalités (8) conduisent, assez rapidement, aux conditions
trouvées par ftl. Serret {Journal de Liouvilie, t. XII).
(**) Les doutes exprimés dans la Note insérée aux Comptes rendus
( «G9 ) VI. Applicdliuii.
{e' -+- e"^)(^e* -f- e"*) = c biii c, ou
4^ (<^ -♦- e-') -+- 4=» . (e* -+- e-") — 4» . sin r = 4^ (c). (« )
Donc
e* ^ e-" sin r
dx
rf^ rfz
le" — e''>\ ^eos z^ le» -+- e-"} \sin z/
le"^ ■+- e-'/
Les intégrales sont
ev — g-»
cos z cos z
Par suite :
df e' H- e-' rf/^ fd (e^ — e ') sin
t/x cos r f/i/ r/z cos* z
(//■, df^ €'■> -+- e-* r//, {e'J—e-')smz
dx ' (/y cos y dz cos^ z
dfV IdfV IdfV e"" -4- e-*^ -h 2(cos' z — sin- z)
(/oc/ \f/?y/ \rfz / cos* z
a* cos^ z -H 2( I -*- cos''' z — sin- z) a'' -t- 4 cos*z COS'Z
df df^ df d(\ df df aS sin- z — — j- — — -j- — . — . = :
dx dx dy dy dz dz cos* z
df^\- l^ffA" . (dfA' ^
\dxl \dyi \dzl cos^z
(6 juillet 1874) subsistent encore (février 1886); et je suis loin d'être satisfait de la démonstration employée dans le paragraphe IV. Néanmoins, comme toutes les applications que j'ai essayées, du théorème énoncé, m'ont conduit à des résultats exacts, je le soumets à l'appréciation des Géomètres.
( «70 ) Ces valeurs, comparées à
A -t- aZ, B -»- yuZ, C -+- vZ, donnent:
A = «•^ -*- 4 , A = a'' -+- 4 , B = 0, u=up, C = f' -+- 4 ,
L'équation (9) se réduit à
L'intégrale de celle-ci est (*)
«- -H p* d= hap -H 4 — h:" = 0.
Par conséquent, les surfaces 2|, ^2 sont représentées par
(e^ — e-^)' -4- (e-' - g-'')' -»- h{e' — e-%e« — e-'->) -+- (4 — }f) ces' z = 0, (e" — e-'f -+- (e" — e"^ J' — (/(e' — e"^) (e* — 6"=') -^ (4 — /) cos^ z = 0.
Elles constituent, avec les surfaces données, un système triplement orthogonal.
VU. Cas particulier remarquable. Supposons que l'équation donnée ait la forme
Considérons la ligne (inconnue) dont les équations seraient
M = [(!))= m, (II)
puis les surfaces 2 contenant cette ligne. Leur équation est
/•(x)-/-(z)-^Af/(y)-/(z)]^0. (1^2)
(*) Voir la Note CXXXIV. p. 164.
(*') Chacune des surfaces S, représentée par cette équation, est située
de la même manière relativement aux trois pians coordonnés. Si, pai'
exemple,
?{x) = Aa;^ -+- Bx -4- C,
S est une surface de révolution autour de la droite isoç/onale.
( 171 ) La condition «rortlKtjionalitr dr S ol de 2 esi
Elle devicnl idcnli(|iic si ron prend
ou
Soient maintenant deux surfaces 2|, ^2, la première représentée par l'équation (12), la seconde par
La condition d'orthogonaiité est
[r(x)Y -H A4/'(y)j -H (I H- >)(! -^ ^)ir{z)Y = o.
Elle se réduit à une identité, pour .; = // ^=z, si les constantes /, u vérifient la relation
En résumé :
Par la droite isogonalc passent une infinité découplés de surfaces 2i,22j orthogonales deux à deux (*), et orthogonales à toutes les surfaces S (**)•
V^IIL Suite. — Dans l'équation (10), je prends
F(a:) = f .sinx, (15)
de manière que les surfaces S sont représentées par
sin X . sin y . sin x = sin c.
(') A chaque valeur de i correspond une valeur de /x. (**) Ce n'est donc point là un syslème triplement orthogonal, dans le sens habituel de l'expression.
( 172 ) Les équations (8) deviennent
dx (h) dz
cot X cot xj cot z On déduit, de celles-ci :
cos X cos v
cos z cos z
Donc
doiV /r/a\- (d^Y sin^xcos^r-t-cos^xsiii^r \-^cr? — ^a-ç,Qsr z
dxl \dyl \dzl cos* z cos^z
da. dp da dp doi dp COS x cos y sin^ z ot.p{\ — cos^ z) dx dx dy dy dz dz cos* z cos^ z
dpV (dpy /r/^y'sin'3/cos'z + cos'î/sin-z I-+-p'— 2|3'cos'z
dxl \dyl \dzl cos* z cos^ z
A = — 2a^ A =: 1 -+- a*, B = — ap, pt = aS,
cos^z
L'équation (9) est, par suite,
-m - 1 ) (;^) - 2(a-^ - p^) ^- j - ap{é -\) = 0.
Celle-ci n'est peut-être pas facilement inlégrable ; mais le système triple existe.
