XI. Lue propriété numérique. — L'équation (9) a la forme

(Bc — Cb)x' -+- (Cfl — Ac)x -t- A6 — Ca = 0.

Celle-ci étant résolue par rapport à x, la quantité sous le

radical est

(Ca - Ac)- — 4(Bf — a,){Ab — Ba).

Si on |{i multiple par (I*, el qu'on emploie In traiislormation ordinaire, on trouve l'idontité

(:*[(C.» — Ac)* — 4(Bc — a,)(\b — Ba)] |

= [i}u -+- {iw — ACjf — ^iwc.hY — 4(n- - AC)(Bc — a>f \ ^^"^

Par eonsé(]uent :

A, IJ, (-, a, I), e, m ëtnut des nombres entiers, la (luantité C*[(Ca — Ar)* — 4(Bc — a){M> — lia)] est une sonnne de dettx carrés, si B^ — AC = — m-.

XII. Suite. — D'après cette remarque, l'identité (A) prend la l'orme

X et Y étant des nombres entiers. De cette égalité, on con-

chn, facilement,

même quand X el Y ont des facteurs communs. L'énoncé précédent peut donc être remplacé par celui-ci :

A, B, C, a, b, c, m étant des nombres entiers, la quantité

N = (C« — Ar)- — 4(Bc — Ct)(A6 — Ba)

est une somme de deux carrés, si B- — AC = — m-.