I -4 (OS© (I -+-t'OS(p)* (I -+-('OS<p

( 1 -t- CCS (p)

puis

2 oos cp

2" Faisons

siii cf/ = r ; et, par conséquenl,

r/(p tos (p(/(p </r

CCS Ç <"()S- (p I — Z^

L'équation (3) devient

r/» == Z— ,lz. (S)

Ainsi, // «V.s7 pas une intégrah' ellipticjue (*).

3° Pour faire disparaître le radical, on peut poser

1/2 De là résulte, immédiatement,

sin d. (6)

1 cos^ ....

[/'li —2 sin* 6

(*) D'après cela, dans le fragment rapporté plus liaut, ne doit-on pas lire pourvoit, au lieu de pouvoit? Si, a priori, Euler regardait '^ '^ dx comme la différentielle d'une intégrale elliptique, il devait conclure, comme récrit Fuss, à l'impossibilité de la rendre rationnelle.

4" Enfin, la transformation habituelle:

donne

\/2(l — f){\ -+-0 OU

i df \ f lit dt \

dy = 1 ■ •

2 1/2 I + f* 4 l ' 2 V < + I ' — 1 / 5° L'intégrale est donc

y = arc Ig t -i : ^ • h const.

III. Des formules (2), (4), (6), (8), on tire, successivement :

cp I — cos(p 1 — 1/1 — z*

. / 1 — coscp I — cos(p ^ I H- coscp sin ©

1—1/1— 2sin-â V t -H f

1/2 sin 6

1/1 -t- ^^ et enfin

x= ; (II)

ce qui, sauf une insignifiante différence de signes (*), est la transformation employée par Euler. Celle-ci, comme je l'ai dit en commençant, était donc forcée.

(*) Dans

on peut convenir de prendre négativement le second radical, afin quep = 0 donne x = 0.

( 179 ) l\'. f/éqiiiition (II) donne

f)ii ;i donc, an lion de rinlégnde (10),

I X y = - arc tg

21/2 V \ + X* 41/2 ^ xl/2 — l I -f- X*

1 , xl/2 H- l I H- X* ■- K • ——z nzznr -♦- fo«s^ ;

ou, sons une forme un peu plus simple,

. xl 2 I „ xl/2 -t-l/1 -+- X* arc sm 1 — J •

const.

Si riniégrale est comptée à partir de oc = 0,

l/l-HX*

dx =

. xl/2 1 -^ 1/1-+-X arc sni 1 — 4. •

■xl/2

1/1-+-X*— xl/2

ou entin

ils^

. xl/2 „ \/\-\-x'-\-xV^Ï\ arcsin h 4, • 1 (*);

formule connue (*).

(*) Cours d'Analyse, p. 138.