Au moyen des équations (1), (8), jointes à la formule

évidente

rfs« == uH^^ -f- (1 -*- /'*) du^ ; (8)

le savant Professeur de Nantes forme, sans s'y arrêter, la relation

rfa,= -rfw\/-^,, (9)

M V w — Ir

intégrale première de V équation des lignes géodésiques tracées sur une surface de révolution

J'ignore si cette intégrale, dont la forme est remarquable, était déjà connue (**).

Il en résulte, à cause de l'équation (1) :

ds = udu

(*) On sait que

y xdy — ydx = M*d . arc tg — = «"dw.

(**) Après coup, je m^aperçois qu'elle a été publiée dans la Nouvelle Correspondance mathématique (t. VI, p. 560).

Rayon de courbure d'une ligne géodésique.

•. Remplaçons l'équation (4) par

as ds ds s ds

s et p désignant Tangle de contingence et le rayon de courbure (*).

A cause de

du X du V

dx u dy u

nous avons

puis

\ ^\/\^ f* dz

p ds ds '

ou, par la formule (10),

\ l/u' — A* dz

P udu ds

II ne reste donc plus qu'à développer la différentielle de ^.