Il est visible que
dz r /«'-A» r Vu' — k*
= cosr = — \ / — - = — .
(*) Il est connu que, a, ^, y étant les angles de la tangente avec les
axes rectangulaires, on a
/ dxV I dyY / dzV = (d.cos«)* -+-(d cosp)*-t-(d.cosr)' = l^T"l "^ l^-T") -♦" 1^ 'rj 5
etc.
( 217 ) Pour simplifier le calcul, je pose :
Il résulte, de ces abréviations :
COSfA
r Vu' — k'
- = sina, =sinA*;
puis
cos y = sin A sin ft.
Les formules (15) et (17) peuvent élre interprétées géométriquement :
1° M étant un point de la ligne géodésique considérée, soit AMB la section méridienne passant en M. Il est clair que X est Tangle TRt< formé par la tangente RMT et la droite Ou, perpendiculaire à Taxe Oz de la surface ;
2° Du point comme centre, avec ft pour rayon, décrivons une circonférence OC. Si, du pied de l'ordonnée de M, nous
menons, à OC, la tangente PS, nous aurons wOS = fjt; •
3° La relation (17) exprime que
y est rhypolénuse d'un triangle
sphérique, dans lequel les côtés de
.^x,^^ j l'angle droit sont les compléments
B de X et de fx.
(218) 8. Par les formules (15) et (17) :
I r' j ^ ^ rf«*
rf(cosr) . , /•" ., A-
= sm/tcosA — r -+- sin Acos/u
du 1 -H /•" „v/„. jt«
du
„(iH./-'»)î uvv -*')(! + ri
Au moyen de cette valeur et de la formule (13), on a, finalement :
p «'(1 -*- fy »'^ ' -^ /"
•• Les sections méridiennes, caractérisées par (ù = const.y sont, évidemment, des lignes géodésiques. Quand il en est ainsi, A: = (*); et la formule (19) devient
P* /* . rtix*
ce qui devait être.
Introduisant le rayon pi , de la méridienne, ainsi que les angles > et (a (15), on peut donc écrire
1 siii*/a sinAcos^u
P pi "
expression assez simple.
Il en résulte
1 tt* - it« i kY
p «** Pi u»l/i + /'*
(*) Si Ton cherche dans quel cas le rapport-^ est constant, pour une
même ligne géodcsique, on trouve que la surface doit être un ellipsoïde de révolution. Cette propriété est la réciproque d'un théorème dû à Gudermann . (Lin DE LOF, Calcul des variations, .p. 278.)
€)€IilK.X.X.V. — Une prapriété des proi^reBslons
if éométr Iqaes •
(ilfat 1888) (*).
I. Théorème. — Soit une progression géométrique, composée de n termes. Si, de n fois la somme des carrés de leurs logarithmes, on retranche le carré du logarithme de leur produit, le reste est constant.
