I. Cordes principales. — L'équation d'une surface S étant

Aa:' ■+■ A'y» -»- A"i' ■*- SB^z -t- SB'zx -t- 2B"ary 1

considérons un système de cordes parallèles à la direction déter-

(*) On trouve, par un calcul facile,

tgA0H.lgA00 = — -.

puis le plan diamétral conjugué à ces cordes. Celles-ci seront principales si les cosinus a, b, c satisfont aux conditions connues :

Ao ^ B"b + B'c A'B -^ Bc ^ B"a A"c -♦- B'a -f- B6

On sait que, s étant la valeur commune des trois rapports,

B"»(A" - s) -4- 2BB'B" = (*). ) ^^^

Cette équation, du troisième degré, a, au moins, une racine réelle. Par conséquent, dans toute surface du second ordre, il existe, au moins, un système de cordes principales (**).

II. Réalité des racines. — Prenons une de ces droites pour axe des z : les équations (3) devront être vérifiées par a = 0, 6 = 0, c = 1 ; ce qui exige que

En même temps, Téquation (4-) se réduit à celle-ci :