I. Théorème. — Si l'équation f(x)=0 (*) a toutes ses racines

réelles et inégales, l'équation obtenue en égalant à zéro la seconde

dérivée dej-.^a toutes ses racines imaginaires.

Soil

et, par conséquent :

L'équation t/"=0 est donc

Or, si Ton suppose

on a :

ou puis

r--/T-ri[2r^]'-254ïr.î- <♦)

Le premier membre de l'équation (i) étant une somme de carrés^ cette équation n'a aticune racine réelle (**).

(*) f{ps) est un polynôme entier.

(**) C^est à peu près ainsi que le théorème a été démontré par M. Agarrat (Nouvelles Annales^ i849, p. i43).

Addition. — (Mai 1888.)

IL Théorème. — Si l'équation f(x) = a toutes sef racines réelks, l'équation

rr-r^o, (a)

a toutes ses racines imaginaires {*).