VI. Autre application. — L'équation

a* 6, ki

a ses racines réelles et inégales (**).

On peut donc prendre, dans Téquation (A),

f{x) = (X — a) (X — 6) • .. (X — fc) — 2 ai(x — 6)(x — c) ... (x - fc) (***).

VII. Remarque. — On pourrait supposer que, si la proposée a des racines imaginaires, la transformée a, nécessairement, des racines réelles. Il n'en est rien. Soit, en eflfet,

On trouve

p — ff" = Sx* + iOx* -+- i ;

et ce trinôme ne s'annule pour aucune valeur réelle de x.

(*) Dans les Nouvelles Annales, 1848, page 568, on énonce, sous le nom de Gauss, une propriété qui résulte de la formule de Rodrigues. En outre, réquation /'(x) = (5) étant une simple transformée de X„ = 0, le théorème sur la réalité de ses racines ne doit point être attribué à M. H. Laurent.

{**) Voir, par exemple, une Note de Binet {Journal de LiouviUe, t. II, p. 250).

(***) Nous citerons encore, comme équation proposée, celle que Ton rencontre dans la théorie des inégalités séculaires, et dont un cas particulier fait robjet de la Note CCLXXXV.

OC3iLC. — Sur une formule de Cauehy.

(Mai 1888.)

I. Dans le tome IV des Anciens Exercices, on trouve cette relation remarquable , que Tillustre Géomètre démontre au moyen de la théorie des Résidus :

cotx

col-

Il est très facile de la vérifier. En effet, elle donne, par intégration,

[X X X Xi

cos - . cos - . cos - . cos - ... 1 = P 2 4 6 8 J ^

sm-

sin X

sin -

ou

sm - sm - X X X X smx 3 5

cos — • cos — • cos - . cos— ••• = • •