III. Une intégration. — Soit Téquation (3'), ou

Quoi qu*elle ne soit pas linéaire, il est facile d'en trouver rintégrale générale. En effet, multipliant les deux membres par l(y -4- y'), on a

2i(y H- yy + % ^ y') (y' ^ y") = 2% h- y')y». (6)

Le premier membre est une dérivée exacte si Ion prend X =, e** (*). D'ailleurs, 2e*'(!/ -h î/')^* est la dérivée de (yc*)*. Donc une intégrale première de (A) est

(y H- yO'e** = (yO* -*- y.

ou encore :

(y + y >«« = l/(yc-)* + y. (B)

Ainsi

e-Cye')' = l/(y6')* -*- y.

(*) La dérivée de ^(y-Hy')* étant

on doit avoir

— = 2; etc.

et enfin :

IV. Suite. — Pour simplifier Fintégrale (D), qui n'a pas la forme normale, posons

yc = u. (7)

Il vient, immédiatement,

Le système de ces deux formules constitue Tintégrale générale de réquation (A).

V. Si la constante g est positive, remplaçons g par g^; puis posons, comme le fait Legendre,

Il résulte, de cette transformation :

gdtp

i -♦- coscp

Vu*' H- 9* = âjf

y/l— -sin»9 1 + cos ç

x = -JC

J Y/|--sin'

•-/ \/ 1 — - sin'ç

(*) Si la constante i^r est nulle, cette formule se réduit &

1 ~/je^

f •) iVo^c CXXXVI (t. II, p. 177).

VI. Si la constante g est négative, on trouve, avec la ménie facilité :

ces 9

ctcp

SlD^'f

Addition. — (/win 1888.) VI]. Généralisation. — Dans l'intégrale

rf(ye')

i/(ye'/ + g

remplaçons e*" par une fonction f, donnée; de manière que :

d(yn

Il résulte d*abord, de cette égalité,

r yf -*- fy'

puis et enfin

rfY -*- AC' - /TOy' -^ ^ry = 2/^y'.

Ainsi, l'intégrale générale de cette équation (F) est l'équation (E).

(*j On fait

COS(p

€€X.€II n. — Une équation aux dlfférenecs.

(Février 1880.)