Première méthode. — L*équation donnée étant

soit y la fonction générative de P,, de manière que

y = Pj, -^ PjX -♦- PjX' -f- .• ^ P„x* -*- — ; (2)

puis, par un calcul facile»

L'intégrale de cette équation linéaire est

Malheureusement, la quantité placée sous le signe /* n'est pas intégrable par les procédés connus : on ne peut pas même déve-

lopper, en série, la fonction e '.

II. Seconde méthode (**). — En l'appliquant, on trouve qu\)n satisfait à l'équation (1) par

P„ = A /"% v'^^*)a-»rfa:

la vérification est facile (***).

(*) Extraite d*un Traité inédit.

(**) Due à Laplace (T/iéorie des Probabilités).

(***) En eflfet,

ou

in. Remarque. — Si Ton suppose P, = 0, Pj=l, la formule (1) donne, successivement :

Ces nombres sont les dénominateurs des réduites de la fraction continue

étudiée par Amoretti (*). Ce jeune Géomètre (**) considère la

série

1i (1.2)* (1.2.3) Or, d après Fourîer (***) :