II. Ligne de striction. — C'est la directrice reciiligne Ç

Soit p la projection horizontale

IlL Courbes de niveau.

(*) Ces résultats, peu importants peut-être, sont beaucoup plus simples que ceux qui ont été trouves, par Legendre et Serret, relativement à rintégrale elliptique de première espèce.

(**) Pour fixer les idées.

(***) Nous le supposons égal à iS^, afin d'obtenir des résultats simples. (**) Tottte surface réglée, qui admet une directrice rectiligne, est gauche. {Traité élémentaire de Géométrie descriptive, ISÔI-, seconde partie, p. 72). (') Recherches sur les surfaces gauches, p. 22.

d'un point P de 2. A cause de Thypothèse sur Tangle zGP, les triangles GOm, Ppm, évidemment semblables, sont isoscèles: fnp = P/). Pour une ligne de niveau y Tordonnée Pp est constante; donc mp = z=' const. Autrement dit : toutes les lignes de niveau, de la surface 2» se projettent, sur le plan de l'une d'elles, suivant des conchoïdes de celle-ci, relativement au pôle {*).

IV. Équation de la surface. — Si la directrice amb est représentée par u = af(<ù)y il est clair que Téquation de 1 est

V. Normale. — La normale à 2, au point P, étant normale à la ligne de niveau qui passe en P, se projette, horizontalement, suivant la normale, en p, à la conchoïde cpd. D'après une propriété connue, cette normale pn passe en un point fixe n, situé sur la perpendiculaire à Omp, menée par le pôle. Donc les normales à la surface 2, en tous les points d'une même génératrice, rencontrent une droite fixe nQ, parallèle à la directrice Oz.

VI. Paraboloïde normal. — Chacune des normales considérées rencontre GH et nQ. En outre , elle est contenue dans un plan perpendiculaire à GH. Gonséquemment, le lieu de ces droites est un paraboloïde hyperbolique y conformément à un théorème connu.

Addition. — {Novembre 1886.)

VII. Lignes de plus grande pente. — Elles se projettent, sur le plan horizontal, suivant les trajectoires orthogonales de la directrice amb et de ses conchoïdes. D'après la formule (1), dans laquelle z doit être considéré comme un paramètre, l'équation différentielle des conchoïdes est

u = af\a).

(*) Qaand la directrice amb est rectiligne, la surface, nommée hyperboloïde conchotdal, est fort intéressante. Le modèle en a été construit par Bardin et par M. Muret, De plus, au mois de juin 1870, M. Welsch, alors élève à l'École polytechnique, a publié, sur cette même surface, une étude et une épure fort bien faites. J'ignore ce qu'est devenu ce jeune Géomètre.

Une simple considération géométrique, combinée avec le théorème rappelé dans le paragraphe V, donné

dû) r(»)

ti — = — a — 1: 5 ' du u

ou, par la séparation des variables,

k étant la constante arbitraire. Telle est Téquation qui était demandée.

VIII. Application, — Dans le cas de Yhyperboloïde conchoïdal, réquation (1) est

u = -, — -4-z O; sinco

et réquation (2) :

COSw

ou

a\ =sinw — J.tfi;--*----

On voit que la constante k est le rayon vecteur répondant à « = 0.

IX. Remarques. — 1° D'après l'équation (2), le problème des trajectoires orthogonales d'une série de conchoïdes est toujours résoluble (**).

2** Si, dans l'équation (2), on pose :

elle devient

V = aF(») H- /; (5)

(*) Nous prenons Taxe polaire parallèle à la directrice, afin que Tinté» grale (2) s^annule avec ta,

(**) En ce sens quMl est ramené aux quadratures.

et celle-ci, de niéme forme que la proposée (1), représente une nouvelle série de conchoïdes. Gonséquemment : ks réciproques R, R', R", ... (ou les inverses) (*) des trajectoires orthogonales T, T', T", ... d'une série de conchoïdes C, C, C", ..., forment une nouvelle série de conchoïdes,

Z"" Ce n'est pas tout. Comme les réciproques de deux courbes orthogonales sont orthogonales (**), si nous prenons les réciproques D, D', D", ..., des conchoïdes C, C, C", ..., ces lignes D, D', D", ..., constitueront, avec R, R', R", ..., un système orthogonal. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Soient des conchoïdes C, C C", ..., leurs réciproques D, D', D", ..., et les trajectoires orthogonales T, T', T", ... de D, D', D", ... Les réciproques R, R', R", ..., de T, T', T", ..., sont des conchoïdes, orthogonales aux réciproques D, D', D".

X. Application. — Si les courbes C sont les limaçons de Pascal,

représentés par

u S3 asincj -t- z,

auquel cas les réciproques D ont pour équation :

osm» -4- z

alors les trajectoires orthogonales T et leurs réciproques R sont déterminées par les formules :

«(î-^)=-^-'«(in)'

(*) La relation uv = a* est celle qui définit deux lignes réciproques. (**) Propriété connue.

(***) Evidemment, ces réciproques sont des coniques dont Tun des foyers est au pôle.

('*) Si Ton suppose / =r 0, on peut écrire ainsi la dernière équation :

séc « s=-Ic"-h « «I.

Les conchoïdes El sont donc des spirahs-ehatnettes (!).

CCX3ILII. — Sur la fonetion namérique ^(n) (*},

(Août 1882.)

I. Problème. — A étant un diviseur quelconque du nombre entier N, évaluer 2^ • •

Soil, pour fixer les idées, N = a^b^c^. Les valeurs de A sont :

1 , a, a\ ..., a'*, 6, 6*, ..., 6^, c, c', ..., c^, ab, a% .., N ;

et les valeurs de (p(A) :

««-i6^-Vy-*(a 1 ) (6 — i ) (c — 1 ).

Donc

ce C a6

ah ah

•^ ■ ■' ■ I il •

abc

Dans le second membre, il y a « fois la fraction ^-^, P fois la fraction -^, y fois la fraction ^^, «p fois la fraction "~'];^*~'' ; etc. Ainsi l'égalité se réduit à

«py(o — l)(6-l)(c-l).

(*) Au sujet de celte fonction, déterminée par £uler, on peut consulter le Journal de Liouville, t. IV, p. 7.

(22) puis enfin, à

s^f^-h'-^lh^lh^l

La formule cherchée est donc

2î^[..±^][..Çtii][..r<î^]., „,

II. Remarque. — Cette formule , peu élégante» se simplifie quand N = al'b^&d* ... Dans ce cas.

2^=»a6cd... (B)

Addition. — {Janvier 1887.)