IX. Suite. — L*équation (23) peut être remplacée par

24rn- 2 =3 (6/ q= 1 )' 4- (6/' =f \ Y (**). (25)

Ainsi, sauf le cas où n = 3).^ qp \ L« égale l'excès du nombre des solutions de l'équation (25), dans lesquelles 1 et V sont de même parité, sur le nombre des solutions dans lesquelles ces nombres sont de parités contraires (***). Mais cet énoncé peut être simplifié, au moyen des remarques suivantes :

1^ On peut substituer, au second membre de Téquation,

(6x -♦- if + (6iy -♦- !)•, xeiy étant positifs ou négatifs;

(*) Recherches,,,, p. 39.

D Jbid,, p. AU r*) Loc, cit.

( 247 ) 2* II est visible (et connu) (*) que

(6x -^ i)' -f- (6y ^- !)«= 2 [(3x -»- 3y -♦- i)« + (Sx — 5^)*J Donc l'équation (23) devient

ou, finalement, /

11, V étant des quantités entières, positives ou négatives (**).

Par conséquent : ^ L, cgrafc l*excès du nombre des valeurs paires, sur le nombre des valeurs impaires, de v.

X. Remarque. — Ce nouvel énoncé suppose que i2n-4- i n'est pas un carré parfait (***). Lorsque 12n -t- 1 a la forme P, la valeur de L., déduite de la règle (2S), doit être augmentée d'une unité.

XI. Autre remarque. — Si I2w h- 1 est un nombre premier, comme il a la forme 4fx + 1, il est déeomposable, d*une seule manière, en une somme de deux carrés : Tun est (3u + 1)^; l'autre, (3v)^. On est donc conduit à ce petit théorème d'Arithmétique, à peu près évident :

Tout nombre premier, de la forme l^y. -h i, est la somme des carrés d'un multiple de 3, et d'un multiple de 3 augmenté ou diminué de 1 (").

(*) Voir, par exemple, le Mémoire de M. Genocchi {Nouvelles Annales,

t. XIII).

(•*) De

on conclut que :

Si M et V sont pairs, x et y sont de même parité;

Si u et V sont impairs, x et y sont de parités contraires ;

etc.

(***) C'est le cas d'exception signalé plus haut.

(") Dans (je cas considéré, L»^ =i= 2, selon que v est pair ou impair.

CCILCVI (*). — Sur le Problème de Pétenbonrs ('*).

(Décembre 1877.)

I. « Pierre, se proposant de jeter en l'air une pièce de monnaicy promet de donner à Paul 1 ducat si, dès le {^' coup, cette pièce étant tombée, montre la face; 2, si cela n'arrive qu'au 2*" coup; 4, si ce n'est qu'au 3% ef ainsi de suite, en doublant à chaque coup. On demande le sort de Paul, »

Les probabilités de l'arrivée de face, au l"' coup, au 2', ...,

au 7i"^% sont

Les gains correspondants sont

i, 2, 4, ..., 2"-* ducats.

Par conséquent, le sort de Paul (ou son espét^ance mathématique), est

« Or (dit Lacroix), puisqu'il n est pas impossible que face » n'arrive qu'après un nombre de coups plus grand que tel » nombre qu'il plaira d'assigner, ne s'ensuil-il pas qu'avant » de commencer le jeu, il faut supposer ce nombre infini? » La mise de Paul doit donc être infinie; mais quel homme » sensé voudra risquer à ce jeu, non pas une somme infinie, » ce qui est absurde, mais même une somme tant soit peu forte? > Voilà le paradoxe que les géomètres ont cherché à expliquer. »

On n'a peut-être pas fait attention à ceci : Pierre, qui promet à Paul de lui donner V, 2^ 4^ 8^ ..., doit commencer par établir.

(*) Extraite d*uii Traité inédit.

(**) Proposé à Montmort, par Nicolas Bernoulli (Mémoires de S^-Pétersbourg, vers 1720; Analyse des jeux de hasard).

qull est en état de payer. Si Pierre disait : « Voilà une somir.e m de 1024 francs, sur laquelle vous prélèverez. 1^ 2', 4', 8', ..., » si face arrive au !•' coup, au 2"'"% au 5""% ... Si, au H""' coup, » je n'ai pas amciné face, la partie sera nulle, et nous retirerons » nos mises » ; il n'y aurait plus de paradoxe : Tenjeu de Paul devrait être (^)' (*).

II. Variante. — Pierre promet, à Paul, de lui donner ^^ 2', 3^ ..., n', SI FACE arrive au 1'" coup, au 2""% ..., au n'*"*. Quelle est l'espérance mathématique de Paul?

Cette quantité E tend, très rapidement, vers 2. D'ailleurs, la probabilité que Paul gagnera (la partie s arrêtant, au plus tard, au n"""" coup) est

:: -♦- rr -+- •• -< =1 >

et la probabilité que Pierre gagnera est seulement ^'

Si donc la mise de Pierre est n francs, la mise de Paul doit être, d'après la règle des paris :

Il n'y a plus rien d'excessif.

{*) Poisson a fait une remarque analogue à celle-ci {Recherches sur la Probabilité des jugements, p. 73).

€^JLCWnm — Sur un eas partiealler de la foriiiiile

dn Unème.

(Août 1888) O.