I. Soit, en général

la somme des n premiers termes du développement de (1 — a:)""', p étant un nombre entier. La multiplication par 1 — x donne, au moyen d*une propriété bien connue (**),

{i ~ x)(p(p) = cp{p - i) - C^.,.,.x'' ; (2)

puis, par le changement de p en p — 1 , p — 2, ... 3, 2 :

(4 — x)cp(p — i ) = <p(p — 2) — C,+,.5. n^ix'^y (I - x)(f(p - 2) = (p(p - 3) - C,^^.*..iar",

Mais

(i-x)<p{2) =cKi) -C„,,x".

donc, par une élimination facile :

Cette relation, que nous croyons nouvelle, ramène le calcul de S., à celui d'un polynôme composé de p — 1 termes : si n est beaucoup plus grand que p, le second calcul sera bien plus simple que le premier.

(*) Addition à la Note GCXGVI.

* ( ) Cm,} — Ga»-1,9— I =Cm— 1, 9*

( 251 ) Soit, par exemple, p = 3, n = 100. On aura

(4 — xy S,oo = [100+ 5 0»0(1 — a;)-f-171 700(1— a-)'>"».

II. Remarque. — L'équation r-^ ~ [c»..-^+C„+,,,4(i~x)-*-...4-C»^,.„-,(l— x)'-«>"=0 (3)

a p — 1 racines égales à l.

II]. La relation (A) peut être mise sous une forme plus simple.

On a

R. étant le reste. Donc, en supprimant , dans les deux membres, ^^ :

IV. Remarque. — Le reste R„ est le produit de la fonction proposée, (1 — x)~^ par un polynôme entier.