f- x)' 4. 5(2 + X)* 6. 7(2 h- xY

Évidemment, la première série est convergente pour toute valeur positive de x; mais la seconde est divergente dès que x surpasse 1 (*). Ainsi, Tégalité (3), vraie quand x est compris entre zéro et un (inclusivement), devient absurde pour x > 1.

Ce n'est pas tout. Si Ton désigne par S le premier membre, un calcul facile donne, en vertu de ce qui précède,

Par exemple, si x = 2 :

En effet, la somme des trois premiers termes de la série est

— -4--— -+-7-*— -==0,OiO 417^-0,000 792+0,000 093=0,0ii 502. 96 4260 10 752

Quant au second membre de Tégalité (3), il devient, pour

et cette série est divergente.

V. D'après tout cela, on est conduit à la proposition suivante : Supposons que, pour les valeurs de x comprises entre zéro et un (**), on ait :

f{x) = ao -»- a,x -4- ajx' -4- ••• (A)

Soit z = <p(x); et, par suite,

f{x) =■ 6o -4- hiZ -♦- 6^2' -f- ... (B)

(*) Le terme général est

"" ■" (rîH-l)(n-H2)2"+« ^" {**) Afii] de fixer les idées.

Si la fonction (p a été convenablement choisie^ il peut arriver que la seconde série reste convergente (*), pour des valeurs de % supérieures à l'unité; et alors l'égalité

Oq •+• a^x -4- ajx' -h ••• «s 6^ -h b^z -♦- 6jZ* -♦- •••, (C)

vraie pour % compris entre et iy devient absurde pour x > 1.

0€X.XLI¥. ~ flnelqnes iatéffrales déanles {**).

{Septembre 1886.)