V. Relation entre deux intégrales^ — On sait que

1 i 1 i /*• xdx

D*un autre côté, dans les Recherches sur la constante G, nous avons démontré la formule

dix

e«(-i).[eto

(*) Dans les Tables de M. Bierciis de Haan, je n'ai trouvé aucune de ces trois intégrales. Cependant, il n'est pas probable qu'elles soient nouvelles, La première résulte, si Ton veut, du développement de y^ .

(**) Tome II, page 327.

VI. Remarques. — 1" Si a = 1, cette égalité se réduit à celle-ci, dont la vérification est facile :

xdx

En effet, les valeurs de ces intégrales sont, respectivement 2' De même, lorsque a = | :

/^« dx Z'*

xc^x

La première intégrale a pour valeur j (**). Par conséquent ,

yOOO

xdx

Cette formule est comprise dans celle d'Abel (***).

(iO)

(*) Bierens de Haan, T. 38 et 138.

(••) hierens, T. 38.

(***) Note CXCII. — Si l'on part de Tégalité (E), des intégrations ou des dérivations, relatives au paramètre a, feront découvrir d'autres intégrales définies.

C€yX.lK.T. — Relations entre devm théorèmes

empiriques.

(Octobre 1884.)

I. l*" Théorème de Goldbach. — Tout nombre pair e$t la somme de deux nombres premiers (*).

2® PosTULATUM DE M. BERTRAND. — Quel que soit un nombre n, supérieur à 6, il existe toujours un nombre premier, au moins, compris entre n — 2 ef | (**);

ou, à plus forte raison :

Entre n «^ 2n, il existe, au moins, un nombre premier.