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on a

n iVofc CLX.

(**) Recherches., , p. 52, note.

Vil. Suite. — La vérification de cette identité (K) semble difficile : à plus forte raison le serait-il d*ejSectuer les développements des deux membres. Mais on peut commencer par la réduire. A cet effet, j'observe que :

Ainsi déjà, par la suppression du facteur B :

formule connue (***).

Ce n'est pas tout. Dans la relation (K), la valeur commune des deux membres est

B ir 2 2! + 2! 1

B' p'ii—q^ 1—9* 1—9' "J" Dans la série, changeons 9 en — 9 : elle devient

Ll~9' 1-9* <-?• J c'est-à-dire .':

Il est visible que le développement de cette nouvelle série est

(*) Recherches,,,^ pp. 48 et 1.

(••) Ibid,, p. 1.

("*) IMd,, p. 82,

('^) iVo^e5 sur la théorie des fractions continues...^ p. 15.

Nf(n) représentant le nombre des diviseurs impairs de n (*), L'égalité (6) se transforme donc en

puis, à cause de

p = !:■=• fi- irfMq"" X 2 (- «r'N,(«)9". (L)

Ainsi, la fonction très complexe, p, est, assez facilement, développable suivant les puissances de q.

VIII. Remarques. — 1" D'après ce qui précède, Tégalité (C) peut être écrite ainsi :

2® La combinaison des égalités (L), (M) donne cette autre identité, peut-être nouvelle :