IX. Equations caractéristiques, — Si Ton pose
(*) ^<(^) est aussi le nom6re (]{e« diviseurs du plus grand diviseur impair de n.
{**) Recherches,,,, p. 5. <pi(n) e«/ /e nombre des décompositions de n en parties impaires, inégales.
et que Ton représente par f{q) la somme de la série de Lambert : on a
La série
peut, également, être rattachée à la transcendante [{q). En effet, il est visible que
ou, à cause de Tégalité (8) :
*(?) = A?)-5A9*)-+-2A?*). (iO)
Ainsi, comme nous venons de le dire, la transcendante [{q) étant connue, Tautre le sera aussi. Mais Ton peut aller plus loin. La série de Lambert, ordonnée suivant les puissances de 9, est, comme on sait,
N(n) représentant le nombre des diviseurs de n. Gonséquemment,
<{; (7) = 2 N (n) [q" - Sç" + iq*"] ; (12)
puis, si Ton suppose
(*) iVo?e« sur la théorie, „y p. 14.
(**) Chacun des symboles N (f), N (5) doit être remplacé par zéro, quand la fraction correspondante n'égaie pas un nombre entier.
Addition, — (Novembre 1886.) X. On a aussi :
OU
i[nq)-n-(i)]^^iqY (i6)
La comparaison avec la formule (10) donne la relation :
f{9) •*- A- q) - H(ql -H mq') == o, (i 7)
qui caractérise la série de Lambert (*).
XL Soit, comme précédemment.
L'égalité (17) devient
2 JV(w) [?" -f- (— qf — ^q^" -+- 29*"] = 0.
Dans le premier membre, le coefiScient de g*", lequel doit être nul, a pour expression :
Nous trouvons donc ce petit théorème :
Le nombre des diviseurs de 2n égale la demi-somme du nombre des diviseurs de n et du nombre des diviseurs de 4n (**).
{*) La sommation de cette série est ainsi ramenée au problème suivant: QueUe est la fonction f qui satisfait à la condition (i'^)?
(**) Évident, ipais non signalé, je pense, dans les Traités d'Arithmétique. On peut le généraliser ainsi :
Soit p un nombre premier. Le nombre des diviseurs de pn égale la demi"
XII. On peut remplacer l'équation (17) par une autre, plus simple, et contenant la fonction <p. En effet, de l'égalité
on déduit :
puis
9(9) + ?(-?)- 2?(9') = A?) + A- 9) - mi') + m^*) ;
ou
ilu(re addition. — (Février 1887.)
