XIII. L'identité

9' i qi i q'

<^« 2 1—9» 3 1— g" peut être généralisée ainsi :

il l iL.l?L... (4)

JC'

1— ar* 1 — *•

- («-*)t37-^ /"rb -^ ^^-"^iz^ -^ •••

somme du nombre des diviseurs de n et du nombre des diviseurs de p'n. Par exemple :

N(24) = 8, N(120)-=16, N(600) = 24; el 16=i(8-H24).

(*) Cette égalité résulte, immédiatement, de la définition (8).

(41 ) Par exemple,

€}CX.1K.TII. — Sar les nombres eombinatoires (**).

(Décembre 1886.)

I. Développement de (x H- a)"~*. — Dans ma démonstration du théorème de Staudt et Glausen, on trouve le lemme suivant : n étant un nombre premier^ supérieur à k,

C«-2,*-, =JILw=f:A;, (1)

selon que k est pair ou impair (***).

Si Ton change k en k — 1 , on a donc

(*) De cette égalité, on conclut la propriété suivante, qu'il est facile de vérifier et de généraliser :

Soit A la somme des diviseurs d'un nombre entier N, donnant des quotients impairs.

Soit 6 la somme des diviseurs donnant des quotients pairs.

Soit, enfin, C la somme des diviseurs de N, impairs.

On a

O Complément à la Note CLXXX.

C) iVofeLXXVI.

( 42 ) et, par conséquent,

Ainsi, dans le développement de(x -h a)""^ (n premier), la somme de detix coefficients consécutifs est un multiple de n, diminué ou augmenté de l^unité.

En outre, d'après régalité (2) :

£ai somme des deux premiers coefficients = <JTLn — i La somûie des quatre premiers coefficients = SÎLn — 2 La somme des six premiers coefficients =3 JTLn — 5

La somme de tous les coefficients, ou 2*"' = JILn (**).

Enfin, à cause de

(n-1)(n-~3)...(n~A: — i) -'•'"' l.2.3...ifc •

Dans le développement de (x -+- a)°~* (n premier) :

IL Remarque, — Si n — ^ etn sont premiers, on a, simultanément :

Cn-«, A i -♦- C,î, A, = JILn =p 1,

Ch-î, *-i -♦- C,,. ,.-t = JTL (n — 2); et, par suite, plusieurs solutions de Téquation indéterminée

wx~(n — 2)y = d=i. (3)

(*) — I si A est pair,

(**) Cette dernière égalité équivaut à

conformément au théorème de Fermât.

Par exemple, pour satisfaire à

15a: — iiy = ± i, on peut prendre :

y = — [Cn.6 + c,,,,] = 84.

Les valeurs correspondantes de x sont :

En effet :

13.5— il.6=— i, 13.17— 11. 20=-^l, 13.38— il. 45=— 1, 13.61— 11. 7î2 =-1-1, 13.71 — H. 84 = — 1.

m. Développement de (x -f- a)"~*. — Le premier membre de la relation (2) est réductible à C„,jt i (*). Par conséquent :

Dans le développement de (x -h a)"~* (n premier), chaque coefficient est un multiple de n, augmenté ou diminué de l'unité.

De là résulte que l'équation (3) (**) admet, comme solution :

(*) Cours d'/inalyse de VUniversité de Liège, p. 45.

(**) Cette équation (3) est ycrifiée, selon le signe du second membre, par

aî = ^-(n — 3), i/ = db-(n— 1).

Addition. — (Février 1887.) V. Propriétés arithmétiques et algébriques. — De la relation

on conclut aisément

et, à plus forte raison,

(n — p — l)(n — p — 2)m. (9 -+- 1) qp(n-.9— i)(n — 9 — 2)...(p-f-1)=:jrL/i. (6)

Soient :

de manière que

a{a -¥■ 1)... (a -4- c) ± 6(6 -♦- i)...(6 h- c)= JR/(a -h 6 -♦- c);

ouy en appelant (p(a, 6, c) le quotient, par a + 6 + c, du premier membre,

a(aH-l)...(a-t-c)db6(6.-^ 1)...(6 ^ c)=(a-+-6-t-c)(p(a,6,c) (***). (A)

Cette égalité, obtenue en supposant que a, 6, c sont des nombres entiers, dont la somme est un nombre premier, semble prouver, seulement, que (p(a, 6, c) est un nombre entier. Mais elle est bien plus générale.

En effet a, 6, étant des quantités quelconques, remplaçons a, dans le premier membre, par — (6 -t- c). Il devient

(— \y^Ub -4- c)(6 H- c— 1)...6 ip 6(6 -+- i)...(6 -f- c);

(*) A'ofe LXXVI (t. I, p. 324). Le signe — , si ç est pair, {**) Le signe — I, si p et g sont de même parité.

(***) Diaprés les hypothèses précédentes, a et 6 sont de même parité quand c est impair, et de parités contraires, quand c est pair.

ouy selon que c est pair ou impair,

zb 6(6 -*- i)..,(6 -♦- c) qp fr(6 -*- 1)...(6 -t- c) = 0.

Ainsi, le premier membre de Fégalité (A) est algébriquement divisible par a h- 6 -4- c. Donc, comme on Ta vu, il est arithmétiquement divisible par a •+• 6 -4- c, quand les -lettres a et 6 sont remplacées par des nombres entiers.

En résumé :

1° Le polynôme

est divisible, algébriquement, par a h- b -i- c.

2** Si Si, h sont des nombres entiers, le nombre entier

est divisible par a -+- b -h c.

3** Soit 9 (a, 6, c) le quotient : pour toutes valeurs entières de a, b, on a

(a -4- 6 -4- c)(p(a, 6, c) = Jll(l . 2 . 3 ... c -+- 1) (**). 4** En outre, st a -»- b -h c est un nombre premier,

(p(o, 6, c) = JJl (1 .2.3...C-4- 1).