II. Exemple

La progression est 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, ...

Divisant par 13, on trouve les résidus 2, 7, 12, 4, 9, 1, 6, 11, 3, 8, 0, 6, 10, 2, 7, ... (A)

Divisant par 23, on obtient la suite

2, 7, 12, 1*7, 22, 4, 9, 14, 19, 1, 6, 11, ÎC, 2*1, j ^^,^ 3, 8, 1*3, 18, 0, 5, 10, ... )

C) Tirée, en partie, du Bulletin de l'Académie, Elle a été suggérée par Tun de ces jeux de cartes appelés patiences, (**) On suppose ç > p.

Celle-ci contient les termes de la suite (A'), rangés comme ils le sont dans (A').

III. Démonstration — Les termes généraux des suites (A), (B) sont donnés par les formules

a -^ {n — l)^=px -+- a„, a -♦- (n' — i)^ = qx' -^ 6»,. (!2)

Si Ton suppose x' =* x, b^. = a^, il en résulte

(n' — «)(? = (?— p)x; puis, à cause de

n' = 11 + Ixy ou

• a'^{n' — i)^=o -4- (n — 1)(y-+- (çf — p)x. (3)

Ainsi, les termes de la progression (1), déterminés par cette formule, ont leurs résidus par q : 1 ° inférieurs à p ; 2* égaux aux termes de la suite (A); 3" rangés dans le même ordre que ceux-ci.