IV. Remarque. — Dans la progression

les valeurs de x sont

A cause de q — p = 10, les termes efficaces sont doue :

En eflfet, si Ton divise ceux-ci par 23, on trouve les résidus

V. Généralisation. — Les p résidus formant une suite telle que (A) se reproduiront, sans altération d'ordre, dans toutes les suites, analogues à (B), répondant aux diviseurs premiers compris dans la formule

9 = P + JIL(^).

Exemple :

fe, 3, 9, 15. g = 31 : 2, 8, 14, 26, 26, 1 , 7, l\ 1*9, 25, 0, 6, 12, 18, 24,

io, 5, il, 17, 2'3, 29, 4, 16, 16, 22, 2'8, 3, 9, 1*5,

Addition. — (Avril 1887.)

IV. Dans la démonstration ci-dessus (I), rien n'exprime que les nombres p, q sont premiers. Cette condition est donc superflue. En outre, a ei S doivent être supposés premiers entre eux^ sans quoi la progression (1) .serait réductible à une progression plus simple (*).

Nous pouvons donc transformer ainsi Ténoncé primitif :

Soit une progression

a, a -^ â^ a -f- 2^, an- 3(^, ...,

dans laquelle b et S sont premiers entre eux. Soient p, q deux nombres premiers entre eux, et tels que q — p = STii^)- Si l'on divise, par p, les p premiers termes de la progression, on formera une suite de p résidus :

De même, le diviseur q donnera les q résidus :

bi r\ f>,, , 6,. (B)

Cela posé, si l'on supprime, dans (B), les termes égaux ou supérieurs à p, on retombera sur la suite (A) C').

(') Après suppression du plus grand commun diviseur entre a et §. (**) Afin que a, = a, on prendra p^ a.

(*') Les termes de (B), barrés, ou surmontés d'une croix, sont au nombre

de 7 — p.

CCXKX. — S«r ■» poltaodie.

(Février 1885.)

I. Dans les Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces, j'ai donné (p. 39) les équations

de trois surfaces de révolution, contenant la polhodie (ligne de courbure constante). Ces surfaces de révolution sont, respectivement, semblables.

Par exemple, les équations (1) représentent des ellipsoïdes semblables, parce que les coefficients de x^, y^, z* sont indépendants du paramètre v.

II. La même propriété subsiste pour les projections de la polhodie, sur les plans principaux. En effet, la combinaison des équations (1), (2) donne

«etc.

CCILJLIILI. — Extrait d'une lettre adressée h M. Miller^

Rédacteur de VÉducational Times,

(Octobre 1888.)

I. « IM. Neuberg m'a communiqué la curieuse identité due à » M. Edwards. {Question 6113) C)y ainsi que les solutions » données par MM. Symons et Terry. A ce propos, permeltez- » moi de faire la remarque suivante :

» Dans les Comptes rendus (t. LIV), et plus tard dans les Mélanges mathématiques {**)y j'ai donné les formules

» relatives aux sommes des puissances 2A: + 1 ou 2fc des

» racines de

x' H- px -4- qr = 0.

» Au moyen de ces formules, on peut former autant d'identités » que Ton voudra, analogues à celle dont il s'agit. Il suffit, pour » cela, d'éliminer p et 9 entre trois de mes formules. Par » exemple:

» si

on a

S0(aj7 -f- y^ -*- «7)" = A9(x* -♦- y* -♦- a*)(a?'* -f- .v*^ + a»)«.

(**) A^oftf XLVIII.

Addition. — (Octobre 188S.)

II. Lorsque k égale 2 ou 3 , les formules citées (*) donnent :

équations d'où résultent les systèmes suivants :

Au moyeD du deuxième, la relation générale

devient

1 75 S5S,S„ — 1 25 SÎS„., - 49 S'S, . . « 0. (A)

III. Remarques. — 1° Celte égalité devient identique, si les quantités x, r/, z vérifient la condition

< Ainsi, quels que soient x, y, on a, identiquement :

175[(x+y)»-x«~t/»][(x-Hy)'— x'-t/'][x-4-yr-x"-y»] ^ = 125[(x-+-y)'— x'— t/^f[(xH-y)*'-»— x"-*-y"-'] > (B)

H- 49[(xH-y)»-x»-y»J'[(x-Hyr'-^""'~-y""'J- )

2* L'identité (B) ne diflfère, qu'en apparence, de celle qui

f) Tome I, page 186.

(**) Si Ton égale les deux expressions de p, on a ridentilé trouvée par M. Edwards.

f**) NoteXLWW.

(55) résulte de Tégalité (2), quand on y substitue les valeurs connues : p = — (or' -*- a:y -+- y'), q = xy(x -+- y).

Cette seconde forme de (B) est donc

S„ = (x' -^ xy -¥- y*) S„^î -+- a:y(x + t/)S„g. (C)

Autre addition. — (Mai 1887.)

IV. La première des équations (1) donne une infinité de solutions de ce problème :

Trouver une somme de trois bi-carrés égale au double d'un carré.

Il en résulte, en effet, que, pour satisfaire à Téquation indéterminée

il suffit de prendre