CCXXXII. — Snr une propriété numérique

{Novembre 1885.)

I. Problème. — La somme des diviseurs de l& estZ\;la somme des diviseurs de 25 est^ pareillement ^ 31. Ya-t-il d^autres couples de nombres jouissant de la même propriété ?

Très probablement, le problème, pris dans toute sa généralité, est fort difficile. Je me borne à considérer ce cas particulier :

Soit p=2" -h 1, p étant premier. Pour quelles valeurs de n la somme des diviseurs de p* est-elle égale à la somme des diviseurs de 4"?

La première somme est

La seconde est

On a donc Téquation

2«« ^ 2"+* -+- 2" H- 5 = 2'"+* — 1, ou

(*) Comme

il est clair que

n'est pat toujours la somme de quatre carrés. Cependant :

Si n surpasse % Téquation est impossible; car tous les termes, excepté le dernier, seraient divisibles par 2. Mais

Donc la seule solution est p = S, n = 2.

CCILULIILIII. ~ Tmjeetoires orthogonales de

poUiodies.

(Janvier 1885.)

I. Une polhodie (*), tracée sur un ellipsoïde donné, est déterminée par les équations

x' y* z* X* t/* je' I

t; représentant la distance du centre au plan tangent (**).

Il en résulte, par la différenciation,

. dx dy dz

La condition d'orthogonalité :

' dxSx ■*■ dySy + dzSz = , (2)

devient donc, si Ton remet d au lieu de i :

ou, plus simplement,

Telle est Féquation différentielle des trajectoires.

(*) Ligne de courbure constante : le mot courbure se rapporte à la surface (Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces), (**) Loe cit.