V. Remplaçons les équations (1), (2) par celles-ci
6, H étant des paramètres variables. L'équation (8) représente une infinité d ellipsoïdes homothétiques ; et il en est de même pQur réquation (9). D'ailleurs, les identités :
sont indépendantes de G et de H. Donc les surfaces S, représentées par l'équation
o*(6' - C) -C ^ + «•*(«' ~ "') -^ M "^ *'("' - 6') ^ ^ = 0, sont orthogonales aux deux séries d'ellipsoïdes.
(*) Elle ne di£fère, de celle qu'a donnée Serret (Journal de Liouvilte, t. XII, p. âi6), que par un simple changement de lettres. N'est-ce point là un argument en faveur de ma méthode ?
(**) On peut consulter, relativement à Fintégration de Féquation (7), le beau Mémoire de Serret.
VI. Plus généralement : Soient deux séries de surfaces S, S, représentées par
Si une surface S^, appartenant à la première série^ est orthogonale à une surface S^, appartenant à la seconde série; toutes les surfaces S sont orthogonales à toutes les surfaces S (*).
CCXXXIT. — BeoiK Inté^rale^ défliilefl.
(Décembre 1866.) I. De la formule
on déduit :
/ — ;;::;; --da = cot 2x ;
puis
ou
ou encore :
00 ^«a» A-Sûsx
—^ — 7-[2(e'«' -+- e-"^) - llrfa = / da.
(*) A-t-on signalé, quelque pari, cette propriété évidente? {**) Bierens de Haan, T. 27.
D'après une formule due à Poisson, le second membre égale ;tgx. Conséquemment,
II. Il résulte de cette égalité, au moyen de rintégration relativement à X :
OU
ou enfin
^ Te^ -+- 1 -H c-»*'l rfa. (B)
CCULXXT. — liur les déTeloppées sanelies.
{Féûrier 1885.)
I. AB étant une ligne à double courbure, soient C, G', G", ..., les centres des cercles osculateurs, relatifs aux points M, M\ M", ..., de cette ligne. Soient DE, D'E', D"E", ..., les droites polaires correspondantes. Le lieu de ces droites est une développable A, enveloppe des plans normaux à BA (^).
Soit pris arbitrairement, sur GD, le point P. Menons M'P, et prolongeons cette droite jusqu'à sa rencontre, en P', avec D'E', etc. (*).
(*) Voir, par exemple, notre Théorie analytique des lignes à double courbure,
(**) Construction donnée par Monge. (Application de VAnalyse à la Géométrie^ édition de Liouville, p. 396). L'illustre Auteur, pour désigner rélément d'une surface dcveloppabic, dit : une hèdre. Je ne connais pas d'autre exemple de l'emploi de ce mot.
Le lieu des points P, P', P", ,.., est une développée de AB. De plus, celte courbe est une ligne géodésique de A.
En effet (*),
MPE = M'PE ==. 2" -> NPE (**);
PN étant le prolongement de M'P.
II. Le lieu des droites MP, M'P', M'T", ... est une développable S|, dont AB est une ligne de courbure (***), et dont PP'P"... est Xaréte de rebroussement.
Remplaçons P par Q, et recommençons la même construction. Il en résulte une nouvelle développable S^, dont AB est une ligne de courbure, et dont QQ'Q" ... est Tarète de rebroussement. Soit MT la tangente, en M, à la ligne AB.
(•) DétnonstratioD de Monge.
(**) Parce que les triangles rectangles PCM, PCM' sont égaux.
(*•*) Parce que AMM'... B est une trajectoire orthogonale des génératrices
de S,.
Le plan PMT est tangent à Hj, et le plan QMT est tangent à S). De plus, Tangle de ces deux plans est mesuré par PMQ ; car les droites PM, QM sont projetées, sur le plan GMT, suivant le rayon MC.
Or, lorsque deux surfaces S|, S^ ont une même ligne de courbure, elles se coupent, le long de cette ligne, sous un angle constant. Donc
PMQ « const. = P'M'Q' = P"M"Q '.
En résunré :
AB étant une ligne à double courbure; soient GH , K L deux de ses développées. Si, d'un point M, pris arbitrairement sur AB, on mène, aux deux autres courbes, les tangentes MR, MS; l'angle RM S est constant.
A ddition. — {A vril 1 887 .)
III. Le dernier théorème, qui est probablement connu,résulte, immédiatement, de la considération suivante :
La surface polaire de AB étant développée dans le plan tangent suivant DE, la développée PP'P" ... se transforme en une droite pp'p" ..., prolongement de MP. De même, la développée QQ'Q" ... se transforme en une droite qq'q" ..., prolongement de MQ. Or, dans la figure plane ci-contre, on a :
CCXXX^I. — Sur la formale : B(p, 1 — p) =»
sin qr (Juillet 1885.)
